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1、142第十二章 电磁感应及电磁场基本方程1216 如图 12-13 所示，长为 L 的铜棒 AB，以距端点 a 处为支点 O，并以角速率 顺时针绕通过支点 O 且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度 B 的均匀磁场与轴平行，求棒AB 两端的电势差 VAB。 解：方法一：如图 12-14 所示，以支点 O 为坐标原点，沿棒取 Or 为坐标轴，在棒上距点 O 为 r 处取导体元 dr，它的线速度为 ，即 =r。由动生电动势公式知vd()dBlvE则长为 La 的 OB 棒上的电动势为 201()LaOBrLa同理，长为 a 的 OA 棒上的电动势为 2001()dABrl=vE将 AB 棒的电动势看作
2、是 OA 棒和 OB 棒上电动势的代数和，如图 12-15 所示，则 AB 棒上的电动势为2211()(2)ABOBaLaLa因此棒两端的电势差为 ()2ABBVE当 L2a 时，B 端的电势高于 A 端的电势。方法二：在棒上距点 O 为 r 处取导体元 dr，如图 12-14所示，则 1()d(2)aLaABBLalvE因此棒两端的电势差为 ()2AVE1217 如图 12-16 所示，金属杆 AB 在导线架上以匀速 向右滑动。已知金属杆 AB 的v长为 50cm， =4.0m/s，R=0.2，磁感应强度 B=0.5T，方向垂直回路平面。试求：v（1）作用在金属杆 AB 上的拉力；（2）拉力
3、做功的功率；（3）电阻 R 上所消耗的功率。解：（1）在金属杆 AB 运动时产生的动生电动势大小为 ()dabBlvE方向由 ba。感应电流为 lIRABOOA OB图 1215L-aaOA BBrdrrv图 1214vR lab图 216L-aaLOBB图 1213143磁场作用在 AB 上的力水平向左，大小为N=1.25N224.05.0BlFIlRv作用在金属杆 AB 上的拉力 F应与 F 大小相等，方向相反，即水平向右 F=1.25N。（2）拉力做功的功率为W=5.0W1.254Pv（3）电阻 R 上所消耗的功率W=5.0W220.BlRE计算表明，拉力所做的功全部转化为电路中的焦耳热
4、。1218 如图 12-17 所示，长直导线中通有电流 I=5A，另有一矩形线圈共 1000 匝，宽a=10cm，长 l=20cm，以速度 =2m/s 向右平动， （1）求当 d=10cm 时线圈中的感应电动势；v（2）若线圈不动，而长导线中通有交变电流 I=5sin100t（A） ，则线圈内的感应电动势将为多大？解：（1）方法一：用法拉第电磁感应定律 计算。dtE线圈处于非均匀磁场中，当线圈运动到距长直导线 x 远处时，磁感应强度大小为 02IBx方向垂直纸面向里。在线圈中取小面积元 dS=ldx，如图 12-18 中阴影部分，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则面积元 dS 的方向也垂直
5、纸面向里，由于 dx 足够小，可以近似认为该面积元内的 B 是均匀的，则该面积元的磁通量 d为02IBSlx=通过线圈中的总磁通量为 0=ddlnaxIIalx即 为 x 的函数。由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为 0dd2()INlaxttE因为 x 是 t 的函数， ，所以线圈中的感应电动势为dxtv02()Ilaxv由题设，当线圈左边离开导线的距离为 x =d=10cm 时，图 1218I valA BCDdxxOx图 1217I valdA BCD144=2103V7202410501022()()INlaxvE由于 0，所以它的方向为顺时针方向，即 ABCDA 方向。方法二：
6、用动生电动势公式 ，对矩形线圈的每一边求感应电动势，再i()dlBlvE利用()d()()()d()dLABCCDAllBllEv vvBAE进行计算。其等效电路如图 12-19 所示。取绕行回路正方向为顺时针方向。对于矩形线圈上、下两边AB、 CD，由于 与 dl 方向垂直，所以()v()d0BAlvEDC矩形线圈处于非均匀磁场中，距长直载流导线 x 远处的磁感应强度为 02IBx其方向垂直纸面向里。 001()dd2AbDIIllvvE22()()CBlaal每匝矩形线圈中的感应电势为 0001()2ADAIIIlllddEEvv72241510=2106V矩形线圈中总的动生电动势为V=2103V102NE因为 0，所以它的方向沿顺时针方向，即 ABCDA 方向。NE（2）若线圈不动，导线中电流变化，则穿过线圈的磁通量变化，产生感应电动势。通过线圈的磁链为 0ln2INd+a线圈中总的感应电动势为 0dldIttEDA BCA BCD图 121914572224100101d(5sin10)ln2 tV4.35cost
