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1、不等式基础知识一、不等式的概念1不等式的定义不等式：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫不等式不等式组：含有相同未知数的几个不等式组成的式子，叫不等式组2不等式的分类（1）按所用不等号分：严格不等式（简单命题） 、不严格不等式（复合命题） （2）按变量取值范围分：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式（3）按变量的数量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式（4）按解析式的类型分：3不等式的相互关系（1）由不等号方向看：同向不等式、异向不等式（2）由变量范围看：同解不等式、等价不等式（3）由形式关系看：同构不等式、不同构不等式二、实数运算的性质（符号法则）实数运算的符号法则是构建不等式理论的基石，其
2、顺序为：实数运算的符号法则不等式的性质不等式性质的应用实数运算的符号法则：正数大于负数，零小于正数，零大于负数1 , 0ab0,0abab2 3 , 0a10a4 ,;,0bba5 00;0,0aaba三、不等式的性质1三歧性： 对于任意两个实数 a 与 b，在 三种情况中仅有一种成,立超越不等式不等式 无理不等式（含绝对值不等式）代数不等式 分式不等式有理不等式 高次不等式整式不等式 不规范不等式低次不等式规范不等式2对称性： ab3传递性： 等号是否传到底？,(,;,?)ca4可加性： ； （移项法则、作差原bccab理） 5加法法则： （同向特征，可推广） ,abdd6可乘性： （若 ，
3、则 ） ；0ca0c（若 ，则 ） ,bcab7倒数法则：（1） (若 ，则 )；1R、 1ab（2） (若 ，则 )；0baba、 1a（3） 1a8乘法法则： （可推广） 0,abcdcbd9乘方法则： （乘法法则的特例）(2,)nN（ ） mRmQab若 、 ， ， 则10开方法则： ,an11均值定理：（1） （当且仅当 a、 b 相等时取等号） （可推广） ；2b（2） （当且仅当 a、 b 相等时取等号）2、 ，（几何意义：半径不小于半弦 ） ；（3） （当且仅当 a、 b 相等时取等号） ；2,()a（4） 2()1bRb、（当且仅当 a、 b 相等时取等号） ；（调和平均数 几
4、何平均数 算术平均数 幂平均数） ；（5） （一正二定三相等） ；2(0,)qpxpxq（6） （一正二定三相等） ()ab24ab12真分数性质： （浓度不等式） 0,01amabmb注：不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次四、不等式的证明证明不等式就是利用不等式的性质等知识，证明所给不等式在给定条件下恒成立不等式形式的多样性导致其证明方法的灵活性，具体问题具体分析是证明不等
5、式的准则具体证明方法有如下几种：1作差比较法 原理：符号法则步骤：作差 变形（配方、通分、分解、有理化、配方等） 定号 判断2作商比较法 原理：符号法则步骤：作商（注意前提） 变形（指数运算） 定号 判断3分析法 原理： 12nBBA 步骤：执果索因，从“未知”找“需知” ，逐步靠拢“已知” 特点：利于思考，方向明确，思路自然 （刑警办案、剥笋）格式：欲证（#） ，（因为，所以）只需证，（因为，所以）只需证（*） ，而（*）显然成立，所以（#）4综合法 原理： 12nABB 步骤：由因导果，从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” 特点：条理清楚，经验丰富，传统自然 （法官定罪、包装）注：（1
6、）证明时，如果首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要推出过程的每一步都是可逆的，那么就可以断定所给的不等式成立，这也是分析法，其逻辑原理为： 12nBBA （2）用分析法时要正确使用连接有关分析推理步骤的关键词，如“欲证，只需证” 、 “即” 、 “假定成立，则”等并且，必须有对最后找到的，使求证结论成立的充分条件正确性的判断，否则其步骤因不完善而错误（3）由条件或一些基本性质入手、较易的不等式，以及条件较多的不等式，多可用综合法证明而对于条件简单而结论复杂的不等式，以及恒成立的不等式，运用分析法证明更为有效分析法和综合法之间是互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关
7、系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终点是综分析法的起点对于复杂问题的证明，常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以整理，甚至需交替使用这两种方法，事实上，这两种方法往往也很难区分开（4）证明不等式的方法还有反证法、判别式法、换元法、构造法、数学归纳法、导数法、放缩法（把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性进行证明不等式的方法，叫放缩法其常用方法有：舍去一些项、在积中换大（小）某些项、扩大（缩小）分式的分母（分子）等）等分析法只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证”去掉不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，掩盖了分析、探索的过程。如果直接
8、写，而不用分析法，人们会感到看得明白，自己却做不出。因此，在做题时，通常先用分析法探求解题途径，在解答时，再用综合法书写。另外，凡是能用分析法证明的问题，一定可以用综合法证明。反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结为谬误，而使命题得证。因此，反证法也叫归谬法。如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种反设，并设法导致矛盾，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证；这就是反证法的两种类型，前者称为简单归谬法（简称归谬法） ，后者称为穷举归谬法（简称穷举法） 。“否定结论”在推理论证中要作为已知使用。 “假设”不能写成“设”用反证
9、法证明“若 p 则 q”的过程如下图所示：适宜用反证法证明的数学命题有：结论本身是以否定形式出现的一类命题；结论是以“至多” 、 “至少”等形式出现的命题；关于唯一性、存在性的命题；结论的反面比原结论更简单、更具体、更容易研究的命题等。五、解不等式利用不等式性质及相关知识，求变量的取值集合或判断其无解的过程，叫解不等式解不等式是一个由繁到简的等价转化变形过程，大体情形为：若不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；若代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；若有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；若整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为低次不等式；若不等式是导致
10、逻辑矛 盾“p 且 q”为 假肯定条件 p 否定结论 q“若 p 则 q”为 真形式不规范的不等式，则把它等价变形为规范形式的不等式；若不等式是绝对值不等式，则把它等价变形为不含绝对值的不等式1一次型2二次型3分式型4绝对值型5无理不等式6高次不等式、高次分式不等式（1）数轴标根法：标准化分解标根定号取解集（2）降次成组法7不等式组、不等式串求不等式组的解集就是求组成不等式组的各个不等式的解集的交集（由多变少，最后归一） ；不等式串可化归为与之等价的不等式组求解8混和条件组等式（方程）和不等式共同组成的关系组称为混和条件组，求解时以等式为主，不等式起检验作用9超越不等式（指数不等式、对数不等式
11、、三角不等式等）指数不等式、对数不等式、三角不等式等都可利用有关函数的性质（定义域、单调性等） 、图象和不等式性质把原不等式化归为有之等价的代数不等式（组） 注：有些不等式可用构造函数法利用对应函数的图象解之，步骤为：构造函数作图象通过对应方程得交点的横坐标根据图象特点取解集六、不等式的其他应用利用不等式的性质，除了可以证明和求解不等式外，还可以解决求代数式的取值范围、求最值、求实际问题的解等问题1求范围先须求出所求代数式与已知代数式之间的线性关系（常需用待定系数法） ，然后利用同向不等式的加法法则和乘法法则等性质求之 （亦可用线性规划法）2求最值（1）二次整式可用均值定理或二次函数的单调性求
12、其最值（2）分子为二次式的假分式，可用待定系数法、配凑法或换元法化为部分分式，再用均值定理或倒数和函数的单调性求其最值；真分式用倒数法化为假分式注：利用均值定理求最值时，必须满足“一正、二定、三相等” ，三者缺一不可若为两个负变数相加，则可用提取法化归；若无和或积为定值的特征，则可用调整系数或次数的方法化归；若不存在等号成立的条件，则只能用二次函数或倒数和函数的单调性求其最值3求实际问题的解（不等式建模）七、不等式的相关知识函数的定义域、值域、单调性、最值，一元二次方程的实根分布，线性规划等知识都与不等式密切相关绝对值基础知识1绝对值的定义（几何意义）：数轴上某数对应的点到原点的距离，叫该数的
13、绝对值2绝对值的基本性质：(1) （非负性、有界性） ；0a(2) ()(3) ；2a(4) ； ,a(5) ；22(6) 平方法则：若 ，则 ，02xa， 2xa2xa3绝对值的性质定理：（1） ；（2） ；ab（3） ；（4） ；na（5） ， （可推广） ， ；abababab0， 0， 0；（6） （ ） 224绝对值的处理方法：（1）公式法： ；xaxaxaR， 或 ，（2）分段讨论法：（即找界点，此法适用于解含多个绝对值的问题） ；（3）平方法：（即运用平方法则，注意平方的前提为不等号两边均为非负数） ；（4）几何法：（即运用绝对值的几何意义） 5绝对值不等式的类型：（1） ； （2） ； （3） ()fxg()fxg()fxg
