《电子科技大学《电磁场数学方法》第9章 二阶常微分方程级数解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电子科技大学《电磁场数学方法》第9章 二阶常微分方程级数解法（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 二阶常微分方程的级数解法,概述 常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 本章小结,一、概述,分离变量法,直角坐标系、平面极坐标,本征函数是三角函数,实际,正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系）,拉普拉斯方程的分离变量,拉普拉斯方程,球坐标（r， , ）,球坐标系,连带勒让德方程,m = 0,l 阶勒让德方程,.,柱坐标（，z）,贝塞尔方程,柱坐标系,拉普拉斯方程,求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）,级数解法： 在某个任选点的领域上，把待求的解表达为系数待定的级数，代入方程，逐个确定系数。,是否收敛,（1）,x: 复变数； p(x), q(x) y(x):复变函数,收敛范围,
2、方程的常点和奇点,方程（1）的系数 p ( x ) , q ( x ) 均在某点 x0 的邻域内解析， 称 x0 为方程的常点。,x0是系数 p(x) , q(x) 的孤立奇点，称 x0 为方程的奇点。,正则奇点,x0是 p(x) 不超过一阶的极点 , 又是 q(x) 的不超过二阶的孤立奇点; 称 x0 为方程的正则奇点。否则为非正则奇点。,常点,奇点,二、常点邻域上的级数解法,定理,如果方程,的系数 p (x) , q (x) 在点 x0的邻域 内解析，则方程在这圆内存在唯一的解析的解 y (x)，满足初始条件,表示成泰勒级数的形式,（C0 , C1为任意复常数）,a0 , a1 , ak
3、, 待定系数,以l 阶勒让德方程为例进行分析,将解的级数形式代入方程，合并同幂次项； 令合并后的各系数分别找零，找出系数之间的递推关系； 用已知的初值确定系数，从而求得级数解,系数的确定,勒让德方程的级数解,即,在 x0 = 0 的邻域上求解l 阶勒让德方程,方程的系数,在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析, x0 = 0 是方程的常点,定理,于是,代入l 阶勒让德方程,合并同幂次的项列表,得到l 阶勒让德方程解：,x = cos , 0 ,性质：,奇偶性：,y0为偶函数，y1为奇函数；,收敛性：,收敛半径为 1,级数解在
4、x = 1 的收敛性,已证明：级数解y0和y1各自在 x = 1 发散（l 不为整数时）,因此：形如 而且在x = 1 均有限的无穷级数解并不存在：l 阶勒让德在x = 1 均为有限的级数解并不存在！,实际定解问题要求：u 在一切方向都需要保持有限,勒让德方程的解在一切方向 ,即在 x 的闭区间-1, +1上保持有限,出路？,无穷级数解y0和y1均不满足该要求,无穷级数退化为有限项的多项式形式！,l 的选择： l 为非负整数，则当k = l 时, 级数解退化为 l 次多项式；,l 阶勒让德多项式 P l ( x ),l 为偶数：l = 2n (n为整数),从 x2n 项起，系数都含有因子(2n
5、 l )从而为0，y0(x)退化为2n次多项式，且只含偶次幂项； y1(x) 不含(2n - l )，仍为无穷级数； 取任意常数 a1 = 0 即得只含偶次幂的l 次多项式 a0y0(x) ，当选定a0 得到的特解，称为l 阶勒让德多项式。,从 x2n+1 项起，系数都含有因子(2n +1 l )从而为0，y1(x)退化为2n+1次多项式，且只含奇次幂项； y0(x) 不含(2n +1- l )，仍为无穷级数； 级数解中取任意常数 a0 = 0 即得只含奇次幂的l 次多项式 a1y1(x) ，当选定a1 得到的特解，称为l 阶勒让德多项式。,l 为奇数：l = 2n+1 (n为零或正整数),自
6、然边界条件,解在区间-1,1的两端 x = 1 保持有限,本征值问题,本征值： l (l + 1) 本征函数： l 阶勒让德多项式,L 为零或正整数,勒让德多项式,反用系数递推公式,改写为,可以把其它系数一一推算出来：,将n记为k, 求得l 阶勒让德多项式 的具体表达式为,三、正则奇点邻域上的级数解法,的奇点，则其解也以x0为奇点，在点x0领域上展开为罗朗级数形式,设 x0 是线性二阶常微分方程,定理,的正则奇点,设 x0 是方程,则在 x0的邻域 内，方程的两个线性独立解为：,或,s1-s2 整数,s1、s2 ：,A, ak , bk, 常系数，A可能为0。,s1-s2整数,贝塞尔方程的级数
7、解,即,在 x0 = 0 的邻域上求解v 阶贝塞尔方程(v为非负数),点 x0 = 0：,方程的系数,一阶极点 二阶极点,（1） 阶 v 整数或半奇数（贝塞尔方程的级数解）, x0 = 0 是方程的正则奇点,判定方程,两个根为： s1 v ，s2 v,s1 - s2 2 v 不等于0或正整数,两根之差：,判定方程的两根之差决定了两个线性独立解的形式：,先不分 s1，s2,代入方程，,方程的解,合并同幂次的项列表,约定 a00,s1 = +v 时,第一个特解,通常取,级数收敛半径,只要x有限，级数解就是收敛的！,v阶贝塞尔函数,s2 = -v 时,第二个特解,通常取,级数收敛半径,只要x有限，级
8、数解就是收敛的！,-v阶贝塞尔函数,v 阶贝塞尔方程的通解,取,v 阶贝塞尔方程的通解,得到v 阶诺依曼函数,（2） 半奇数阶 vl+1/2 时贝塞尔方程的解,特例: 1/2 阶贝塞尔方程,在 x0 = 0 的领域内求解 l+1/2阶贝塞尔方程,x0 = 0 为方程的正则奇点,判定方程的两个根：,s1 = v1 = 1/2 s2 = v2 = -1/2,s1 - s2 2 v = 1 为整数,对应于判定方程较大根的级数解：,判定方程两根之差,第二个特解：,阶贝塞尔方程的通解：,阶贝塞尔函数,尽管判定方程两根之差为1，但常数 A =0，第二个特解中不出现对数函数,s1 = l +1/2,一般的半
9、奇数 (l+1/2) 阶贝塞尔方程：,两根之差,l+阶贝塞尔方程的通解：,s2 = -(l+1/2),s1 s2= 2l +1 为正整数,（3） 整数 v = m 阶贝塞尔方程,在 x0 = 0 的邻域上求解整数m阶贝塞尔方程,m为自然数,s1 = m,两根之差,s2 = -m,s1 s2= 2m为零或正整数,对应于判定方程大根的级数解：,其中：,对应于判定方程小根的级数解：,线性相关，不能作为第二个独立的特解,实际采用的第二个特解是诺依曼函数表达,整数阶贝塞尔函数的通解,而不是：,（4） x = 0 处的自然边界条件,因此：如果所研究的区域中包含 x = 0 在内，,排除：,保留：,贝塞尔方
10、程，不论阶数是否为整数，在x=0具有自然边界条件,四、虚宗量贝塞尔方程,柱坐标系下对拉普拉斯方程分离变量得到虚宗量贝塞尔方程,v 阶虚宗量贝塞尔方程 (v不等于整数、半奇数),变量代换,得到v 阶贝塞尔方程,两个线性独立解：,得到虚宗量贝塞尔函数(实函数)：,v 阶虚宗量贝塞尔方程的通解：,均为正项级数，除 x = 0 外恒不为零,m阶虚宗量贝塞尔方程 (m为整数),第一个特解：,m阶虚宗量贝塞尔函数,均为正项级数，除 x = 0 外恒不为零,由于 Im(x) 为正项级数(除 x = 0 外)，因此如果在圆柱坐标系下求解拉氏问题时，当圆柱侧面为齐次边界条件，就只能够取0，而不能取0。这是因为0 引出虚宗量方程，其解恒不为零(除非x = 0)。,
