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1、化验结果处理的数学模型摘要 医学化验是协助医生诊断疾病的重要手段。在化验过程中，医院希望可以用简便的判别方法，通过尽量少的化验指标判别出就诊人员是否患病。本篇论文针对于化验结果的处理提出了Ca含量判别法和费希尔判别等判别法，并采用逐个剔除的方法来排除无关紧要的元素，从而减少化验指标，找出关键元素。针对问题1和2，我们提出了马氏距离判别法、fisher判别法、偏离程度判别法和Ca含量判别法共四种方法。通过运用这四种方法分别计算1-60号病例的化验结果来检验其的正确率来进行筛选，算得四种方法的综合正确率分别为：88.33%，93.33%，90%和95%。所以最终决定采用准确率较高的Ca含量判别法和
2、费希尔判别法来作为诊断就诊人员是否患有肾炎的最终方法。针对问题3和4，通过对数据特征分析，提出了多元线性回归法和主成分分析模型法两种方法。前者利用偏离程度建立多元线性回归方程，通过F检验，最后求得的关键因素有：Cu Fe Mg K Na；后者通过建立主成分分析赋权模型，对数据进行标准化并确定相关系数矩阵，求出相关矩阵的特征值和特征向量，从而得到各种元素的权值，得出关键元素为：Cu Ca Mg K Na。针对问题5，我们对前后作了进一步分析。将问题二、四的结果进行比较我们得知：以我们确定的关键元素Cu Ca Mg K Na为指标，得到问题四的结果，我们从被诊断为健康人的数据中发现了1组患肾炎的，
3、而原被诊为患肾炎的数据数目没有发生改变。根据我们在诊断的过程中不会把患肾炎的诊断成健康人，从而进一步验证了我们选取的元素指标的正确性。关键字：马氏距离判别法、fisher判别法、Ca含量判别法、偏离程度 MATLAB，Excel，SPSS，主成分分析一问题的提出（一）问题的背景 人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。以诊断肾炎为例，一般情况下，医生是通过就诊人员的尿液的化验结果，即其中某些元素含量的高低判断就诊人员是否患有肾炎，这些元素一般包括Zn、Cu、Fe、Ca、Mg、K、Na等7种元素。（2） 问题的设置 本题中所给的表（A1）是确诊病例的化验结果，其中130号病例是已经
4、确诊为肾炎病人的化验结果；3160号病例是已经确定为健康人的结果。表（A 2）是就诊人员的化验结果。据此数据，需要我们解决以下问题：1、 根据表（A1）中的数据，提出一种或多种简便的判别就诊人员属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。2、 利用问题1提出的方法，判断表（A2）中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。3、 能否根据表A1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。4、 根据3的结果，重复2的工作，即利用问题3判断出的影响人们患肾炎的关键指标，判断表（A2）中30名就诊人员额化验结果，从而得出他们是否患有
5、肾炎。5、 对2和4的结果作进一步的分析，即利用全部指标及减少影响较小的指标两种方法，对判断表（A2）中30名就诊人员是否患有肾炎的结果进行分析。二模型的假设及符号说明（1） 模型的假设1、 诊断病人是否患有肾炎的因素只考虑Zn、Cu、Fe、Ca、Mg、K、Na等7种元素，其他因素（如其他元素、外界环境、病人本身个体差异等）不予考虑；2、 在表（A1）中130位病患均患有同一类型的肾炎，并且只患有肾炎这一种病；3、 表A1、A2中的数据时随机抽样获得的数据，具有合理性。（2） 符号说明G1，G2分别表示肾炎患者类总体和健康者类总体；d1，d2分别表示到G1，G2的马氏距离,d=d1-d2;g1
6、，g2，g3分别表示肾炎患者类样本、健康者类样本和待定样本；：第i号就诊人员；：第i号就诊人员第j种元素的含量（i=1，2，90；j=1，2，7）；B j：Zn、Cu、Fe等7种元素各含量的均值（j=1，2，7）；C i：第i号就诊人员7中元素含量与健康人标准含量的均方差（i=1，2，90）；D k：患病与健康两类就诊人员与健康人标准含量的均方差（k=1，2），k=1表示 患病组，k=2表示健康组；E：其值为就诊人员是否患病的界限指标；F：其值取1或0，取1时，表示就诊人员患有肾炎，取0时表示就诊人员身体健康；三问题的分析 问题1：该问题需要通过对130和3160这两组数据的分析得出能够判别就
7、诊人员是否患病的指标，可以通过计算得出能够衡量各元素间偏离程度的量，用此作为指标判断就诊人员是否患病。也可以通过判别分析中的距离判别法和fisher判别法分别作出判断，利用SPSS软件，得出相应的判别函数。不论用何种方法，都可以得到该方法相对应的错判率，根据该错判率，可以初步判断出不同方法的合理程度。 问题2：该问题是对问题一中建立的数学模型的应用，利用问题一中建立的不同数学模型判断出表（A2）中30名就诊人员的患病情况。 问题3：利用问题一中建立的数学模型得出包含七个变量的判别函数，通过该函数中不同变量所对应的系数，分析出该变量在判别过程中的重要程度，从而得出影响人们患肾炎的关键指标有哪些，
8、进而判断出在化验中可以减少哪些指标。 问题4：将问题3中得出的关键指标重新建立一个判别函数，对表（A2）中的30名就诊人员再一次进行判别。 问题5：利用全部指标及减少影响较小的指标两种方法，对判断表（A2）中30名就诊人员是否患有肾炎的结果进行分析。四模型的建立与求解（1） 问题一及问题二的求解1、 判别方法一：马氏距离判别 设X、Y是从均值为，协方差矩阵为的总体G中抽取的两个样品，称 为X，Y两点间的马氏距离。马氏距离判别法是通过计算待定样本到两个（或多个）总体的马氏距离并比较其大小来判断样本的归属的方法。 本问题中涉及两个总体（肾炎患者类G1与健康者类G2），且总体的方差与均值未知。给出了
9、三个样本，其中两个已经确定分别属于肾炎患者和非肾炎患者g1、g2，另外一个为待定样本g3。我们利用Matlab软件分别计算出待定样本g3到肾炎患者样本g1与非肾炎患者样本g2的马氏距离之差d=d1-d2作为其到总体G1，G2的近似估计，其判别准则为：若d0，则g3属于G2；结果：61,62,64,66,71,72,76,83,85为肾炎患者。马氏距离判别法的重判及误判率的计算： 我们通过对马氏距离判别法进行重判来分析其准确性，并得到误判率。具体过程是将g1，g2中的数据回代如马氏距离公式，再次计算出马氏距离之差，并对其为肾炎患者或非肾炎患者做出判断。最后将结果与实际情况作比较，找出误判个数，并
10、计算误判率。结果：6,13,16,18,23,25,30为误判，误判率为7/60，即11.67%，则正确率为88.33%。2、 判别方法二：Fisher线性判别函数判别Fisher判别分析就是根据观察或测量到的若干变量值，判断研究对象如何分类的一种统计分析方法。它就是要从各变量中筛选出能够提供较多信息的变量并建立判别函数，使得利用推导出的判别函数对观测量判断其属性类别时的错误率最小。判别函数的一般形式是： 其中为判别值；为变量值，为变量系数，也称判别系数。所以，我们这里设健康状况与各元素之间的判别函数为： 其中分别表示、元素的值, 分别为其对应判别系数。于是，为了求出这些关系，我们利用SPSS
11、软件进行求解，由表1容易得到分别为0.061、-1.205、0.372、1.165、0.524、0.052、-0.350。从而我们得到判别函数： 表1-2-1 标准化的典型判别式函数系数函数1Zn.061Cu-1.205Fe.372Ca1.165Mg.524K.052Na-.350 表1-2-2分类函数系数组别12Zn.097.101Cu.069-.131Fe-.001.018Ca.000.003Mg-.010.001K.001.002Na.011.007(常量)-10.259-14.965Fisher 的线性判别式函数 表1-2-3：Fisher判别结果分类结果a组别预测组成员12合计初始计
12、数130030242630%1100.0.0100.0213.386.7100.0a. 已对初始分组案例中的 93.3% 个进行了正确分类。 表1-2-4组统计量组别有效的 N（列表状态）均值标准差未加权的已加权的1Zn143.10353.68043030.000Cu12.3345.05263030.000Fe23.06713.74953030.000Ca698.167270.19563030.000Mg113.39346.84613030.000K201.133259.78263030.000Na526.833300.58373030.0002Zn186.60029.68293030.000
13、Cu21.92423.75493030.000Fe62.01275.77853030.000Ca2511.1331271.60453030.000Mg295.137177.56893030.000K90.37051.31813030.000Na367.210244.24303030.000合计Zn164.85248.27486060.000Cu17.12917.70016060.000Fe42.53957.45486060.000Ca1604.6501290.85606060.000Mg204.265158.03306060.000K145.752193.86896060.000Na447.022283.21236060.000由表1-2-2、表1-2-3可以看出采用Fisher判别法判别正确率为93.3%，得到患者和健康人的线性判别函数为：其中，分别为肾炎患者和健康人的函数值。由表1-2-4可知，两组各指标均值：代入判别函数可得：根据表2-5中各判别函数值列与临界值1681.94。比较可知：30名就诊者中有13名健康人，17名患者。结果如下：表1-2-5 30名就诊人员的判别结果（fisher判别法）就诊者病历号判别函数值诊断结果61286.43患病62603.57患病631437.52患病64368.76患病65619.79
