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1、4726 Mathematica 求定积分以及相关应用问题6.1 用 Mathematica 求定积分1 定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。Mathematica 的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下限。(1) Integratef,x,下限,上限(2) dxfba)(例 6.1 计算定积分 。dx15解 xIn:15Out1=4-2ArcTan2和不定积分一样,除了我们指定的积分变量之外,其它所有符号都被作常数处理.例 6.2 计算定积分 。dxea320解 ExpIn:22076aaeOut2 数值积分如果 M
2、athematica 无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。用 Mathematica 求解数值积分有两种形式：(1) NIntegratef,x,a,b 从 到 ，做 的数值积分。xab)(xf(2) N 求定积分表达式的数值dxfba)(例 6.3 求定积分 。dx)sin(30解 用 Integrate 命令无法求 的定积分，用 NIntegrate 命令即可求得i其数值积分。In1:=NIntegrateSinSinx,x,0,Pi/3Out1=0.466185求定积分表达式的数值，也能
3、得到与上式相同的结果。 dxSinN:2In3/0P473Out2=0.466185例 6.4 求定积分 的近似值。dxe210解 被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。In3:=NIntegrateExp-x2,x,0,1Out3=0.7468243 近似值积分用 Mathematica 计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点 将区间 分成 个长度相等的小区间，每个小区bxxan10 ,an间长度为ainii)(abxii1)(xfyi矩形法公式： )()(2110nbayynadxf 梯形法公式：)()( 1210nnba yf 抛物线法公式： )(4)
4、(2)(3)( 340nba yyydxf 例 6.5 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分 。dx210解 为了便于比较，首先计算积分的精确值：In1:=Clearx;yx_=x2;Integrateyx,x,0,1Out1= 31(1) 矩形法In2:=Cleary,x,s1,n,b,a;n=20;a=0;b=1;yx_:=x2;s1=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,0,n-1/N;s2=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,1,n/N;Print“s1=”,s1” s2=”,s2Out2=s1=0.30875 s2=0.35875 (2) 梯形法In3:
5、=Cleary,x,a,b,ss3,s3;474yx_:=x2;n=20;a=0;b=1;ss3=Sumya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;s3=(ya/2+yb/2+ss3)*(b-a)/n /N;Print“s3=”,s3Out3=0.33375(3) 抛物线法In4:=Cleary,x,a,b,s3;yx_:=x2;n=20;a=0;b=1;m=10;ss1=Sum(1+(-1)i)*ya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;(*ss1=2y2+2y4+2yn-2*)ss2=Sum(1-(-1)i)*ya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;(*ss2=2y1+2y3+2yn-1*
6、)s4=N(ya+yb+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20;Prints4=”,s4Out4=0.33333333333333333333由上述结果可知：抛物线法近似程度最好，矩形法近似程度最差。6.2 用 Mathematica 计算相关定积分应用问题在解有关定积分应用问题时会用到的 Mathematica 函数有以下几种：1、 Solve方程 1，方程 2，变量 1，变量 2：求解二元方程组。2、 Plotfx,x,a,b：画一元函数图形。3、 ParametricPlotxt,yt,t,t1,t2：二维参数作图。4、 Integratefx,x,a,b：计算定积分。5、 Sho
7、wf1,f2：将函数组合显示。1 利用定积分计算平面图形的面积有连续曲线 ，直线 及 轴所围成的曲)(xfy0f )(,baxx边梯形的面积为dxfAba)(例 6.6 求由抛物线 和直线 所围成图形的面积。y24y解 首先画出函数图形，如图 6-1 所示In1:=PlotSqrt2x,-Sqrt2x,-x+4,x,0,9Out1=-Graphics-4752 4 6 8-4-224图 6-1然后求出两条曲线的交点：In2:=Solvey2-2=0,y+x-4=0,x,yOut2=x2,y2,x8,y-4再以 y 为积分变量求面积：In3:=s=Integrate-y+4-y2/2,y,-4,
8、2Out3=18例 6.7 求由圆 所围图形的面积。cos3r解 首先求出两条曲线的交点：In4:=Solver-3Cost=0,r-1-Cost=0,r,tOut4= 3,2,2trtr然后画出两曲线所围成的图形，如图 6-2 所示In5:=f1=ParametricPlot3CostCost,3CostSint,t,0,2Pi;f2= ParametricPlot(1+Cost)Cost,(1+Cost)Sint,t,0,2PiShowf1,f2,AspectRatioAutomaticOut5= -Graphics-0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5-1-0.50.511.5图
9、6-2再利用定积分计算面积 In6:=s1=Integrate1+Cost,t,0,Pi/3476Out6= 32In7:=s2=Integrate3Cost,t,Pi/3,Pi/2Out7= )1(In8:=s=2*(s1+s2)Out8= 32322 利用定积分计算平面曲线的弧长设曲线弧由参数方程：,)(txy)t给出，其中 在 上具有连续导数，则曲线弧的弧长为)(,tyx,dtytxs2)(例 6.8 求曲线 上相应于从 到 的一段弧长。tyarcn)1l(20t1t解 首先画出曲线的图形，如图 6-3 所示In1:=ParametricPlotArcTant,(1/2)*Log1+t2
10、,t,-2,2,AspectRatioAutomaticOut1= -Graphics-1 -0.5 0.5 10.20.40.60.8图 6-3再利用定积分计算曲线的弧长：In2:=dx=DArcTant,t21tOutIn3:=dy=D(1/2)Log1+t2,t477213tOutIn4:=s=IntegrateSqrtdy2+dx2,t,0,1/NOut4=0.8813743 利用定积分计算旋转体的体积由连续曲线 ,直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴)(xfy)(,baxxx旋转一周所成立体的体积为 dfvba2例 6.9 将星形线 所围成的图形绕 轴旋转一周，计算所得323yxx旋转
11、体的体积。解 星形线的参数方程为taSiny3cos)20(t取 a=1，画出星形线的图形，如图 6-4 所示In1:=ParametricPlot(Cost3),(Sint3),t,0,2Pi,AspectRatioAutomaticOut1= -Graphics-1 -0.5 0.5 1-1-0.50.51图 6-4 利用 Mathematica 计算旋转体的体积：In2:=xt_:=a*Cost3;yt_:=a*Sint3;dx=Dxt,t;V=2*IntegratePi*(yt)2*dx,t,0,Pi/210532aOut478练习 5.61. 用 Mathematica 求解下列定积分：(1) ; (2) ;dxe2)5cos(3 dxsin(3) ; (4) ;sin10 a220(5) dxba)log(2. 计算下列积分的数值积分(1) ; (2) 1)(sin310 dxsin03. 设 ，求0,1)(xef f)1(204. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分 .dx32515. 求由两条曲线 与 围成的平面区域的面积.2xy2y6. 求半径为 的圆的周长.r7. 求星形线 , 的全长.0cosin3aty)(t8. 求圆 绕 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积. )(22bbxx
