(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义

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1、几何复习题- 1 -大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章 平面与空间直线一、本章知识脉络框图方程平面的方程位置关系度量关系直线的方程平面束的方程平面与点的位置关系两平面的位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离空间直线与平面间的角两平面的交角空间两直线的夹角点位式方程点法式方程截距式方程一般式方程法线式方程对称式方程参数式方程一般式方程射影式方程几何复习题- 2 -二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间

2、直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是： 平面的各种形式的方程及其相互转换； 直线的各种形式的方程及其相互转换； 点、平面及直线的关系.本章的难点是： 点与平面的离差，平面划分空间问题； 向量式方程的运用； 灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平

3、面，还知道两个定理：空间的两条相交直线可以确定准一的平面，垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程(1)向量式方程：(3.1)bvauro其中 u,v 为参数在仿射坐标系下， ， ，oozyx,zyxr,21,ZYXbZYa将它们代人式(31)，可得到下述参数式方程(2)参数式方程(3.2)vZuzYyXxOo21由于向量 共面，可以得到下述混合积方程baro,(3)混合积方程：（3.3）0),(ro将对应的向量的坐标代入式(3. 3) 中，可得到下述点位式方程(4)点位式(或行列式 )方程几何复习题- 3 -(3.4)0222111ZYXz

4、yxooo将式(34) 中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程(5)一般方程(或称为普遍式方程)(3.5)0DCzByAx这是一个三元一次方程当 D 不等于零时，可以得到下述截距式方程(6)裁距式方程（3.6）1czba为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点 Mo 的径矢 ，平面00,zyxrOM上任意一点 M 的径矢 以及平面的法向量 ，由于zyxrO, CBAn,，所以通过n0(37)0)(r可以得到平面的点法式方程(7)点法式方程（3. 8) 0)()()(00 zCyBxA格式(3. 8) 展开整理后，仍可以得

5、到与式(35) 类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢将取自原点 O 出发，垂直于平面 的矢量指定为平面 的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面 上任意点 M 的径矢 与平面 的单位法矢zyxrO,有下面的关系：cos,cs0n(39)pr0其中 p 是非负的是原点 O 到平面 的距离将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程(8)法式方程（3.10）0coscospzyx将一般方程 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上DCBAx法化因子 2211n几何复习题- 4 -其中 的正负号选取应满足 ，即 时，取 与 D 异号

6、，当 D=0 时，0pD取 与第一个变量的系数同号例如， 取A(9)三点式方程（3.11）0131313222 zyx这个方程可以看做与式(34)为同一类2平面与点的相关位置(1)点 与平面间 的离差 （3.12）0Mprn0其中 为原点指平面 的单位法矢矢, p 为原点 O 到平面 的距离式(3 12)也n ,0OM可以写成代数表达式(313)zyxcoscos000原点 与平面 间的离差为 ，反映出原点 O、平面 、及其单位法矢),(Op之间的关系点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向在0n平面 同侧的点， 的符号相同；对于在平面 异仍的点， 的符号相反；平面 上的点

7、，等于零点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点 与平面 间的距离为),(00zyxM0DCzByAx（3.14）22Ad3.两平面的相关位置空间两平面 0:111 DzCyBxA222有以下的关系：（1） 与 相交2 2211:BA(2) 与 平行12 2122DC(3) 与 重合12 21212BA几何复习题- 5 -在空间直角坐标系下，两平面 与 间的交角是用两平面二面角的平面角 ，12 1()来表示，并且常取其中的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系，记2，可以得到,(1n(3.15)2212112121cos)

8、,cos CBAn同时，两平面 与 垂直的充要条件是12021CBA4空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量因此，在空间取定坐标系，并设直线 上一定点 Mo 的径矢 ，直线 上任意点 M 的径l 00,zyxrOMl矢为 ，直线 的方向向量 ，可以得到直线 的向量式方程“zyxr,lvl（1）向量式方程(3.16)vto其中 t 为参数（2）参数方程(3.17)ZtzYyXtxOo由式(3.17)梢去参数 t，可以得到直线 的对称式方程l(3)对称式方程(或称直线 的标准方程)l(3.18

9、)ZzYyXx000在式(318)中，方向效 是一组不全为零的数如果其中有一个为零， 例,如 此时，可以设0ZzYyx00如果其中有两个数为零，例如 ，此时可以设0,YX几何复习题- 6 -0yx这样可以得到相对应的直线方程通过空间两点 和 ，可以得到直线的两点式方程),(11zyxM),(22zyx(4)两点式方程（3.19）121212 zyx空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程(5)直线的一般方程(3.20)02211DzCyBxA其中系数 。可以通过式(3.20)求出直线 的方向向量的三个11:Al方向数，即 21212: BAZYX虽然直线 上点无穷多，但我

10、们只需求出一个点 ，当其中两个变量的l ),(00zyxM系数所构造的二阶行列式不为零时，例如 那么第三个变量就可以任意取定21数值 (特别地可取 )这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以0z0z解出 ， ，这时就解出直线 上一个点 有了直线 上的点x0yl ),(00zyxMl和方向矢量 ，就可以得到直线 的向量式和参数式方程.0Mv直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)射影式方程（3.21）ZzYyXx00式(321)中的两个方程表示了两个过直线 的特殊平面，它们分别平行于坐标轴 y 轴l和 x 轴5平面束(1)有轴平面束若两个平

11、面几何复习题- 7 -0:111 DzCyBxA222相交于一直线 ，那么过直线 的所有平面的方程可以表示为ll(3.22)0)(2211 DzCyBxADzCyBxA为避免出现无穷的情况，也可以取 ，方程(322)可以写成nmn( (3 23)()2211 zyxzyx这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线 为平面束的轴(中心轴)只要一l个定解条件就可以求出 的值，或 m：n 的值(2)平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为(324)0CzByAx其中 A 是实参数，系数 A，B，C 是已知的(324)式也是一个单参数平面族6直线与平面的相

12、关位置设直线 与平面 的方程分别为l： ZzYyXx000： DCBA(1)直线 与平面 有以下的关系：l与 相交01 0ZBY与 平行2l00DCzyAxX在 上03l00BZY(2)直线 与平面 相交时，将直线 的方程改写为参数式l lZtzYyXtxOo并将其代人平面 的方程中解参数 t 的值：几何复习题- 8 -CZBYAXDzyxt00上式中分母 将 t 值代回直线 l 的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下直线 l 与平面 间的夹角 可以由 l 的方向矢量 和平面的法矢v间的夹角 来决定，即n 222cosi ZYXCBAvn直线 与平面 垂直 lZYX7空间两直线的相

13、关位置设两直线 与 的方程分别为1l2111:ZzYyXxl 222:l(1)空间两直线 与 有以下的位置关系：1l与 异面011l2 0222111ZYXzyx与 相交 021l2221:0Z与 平行 031l2 )(:)(:)(: 012121221 zyxYX与 重合 041l2)(:)(:)(: 12121221Z(2)空间两直线的夹角空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系：或 ),(),(2121vl),(),(2121vl通常取 为锐角在直角坐标系下，空间两直线 与 的夹角余弦为1l2几何复习题- 9 -2212112121),(cos ZYXZYvl 直线 与 垂

14、直1l2 02X（3） 两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下，两异面直线 与 之间1l2的距离为 21vd两异面直线 与 的公垂线 的方程为l0l0222111ZYXzyxz其中 x ， y， Z 是公垂线 的方向数0l8空间一点到一直线的距离在空间直角坐标系下设空间一点 和直线),(00zyxM：l ZzYyXx111的距离vd01四、基本例题解题点击【例 1】求 空 间 圆 的 半 径 .03422zyx【提示】园的方程通常用球的方程和平面方程联立方程组表示。几何上来说，园可以看成球与平面的交线。利用球的半径和球心到平面的距离就可求出园的半径。【解】球心为原点，半径为 2, 球 心 到 平 面 的 距 离 为 d= ,圆的半径为3142dr几何复习题- 10 -【例 2】求在直线 上并且与原点相距 5 个单位的点的坐标043zyx【提示】用到直线上的点，一般可考虑用直线的参数方.【解】设所求点为 ，则 ),(0zP043ztyx又因为 P 点与原点相距 5 个单位 ,所以2020zyx求出 1t所以所求点的坐标为（3，4，0）或（-3，-4，0） 【例 3】求点 关于直线 的对称点.)1,2(P03214:zyxl【解】已知直线的方向向量为 ,v设所求点 的坐标为（a，b，c）,则 的中点在直线上且