《初中数学不等式教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学不等式教案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的下面来一起学习一下命题 1 如图，点 D 是ABC 两个内角平分线的交点，则D=90+ A证明：如图：1 ， ，2122A18012D=180得：12AD由得：12=180D把代入得：180DADD=90 + A点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于 180，不难证明.命题 2 如图，点 D 是ABC 两个内角平分线的交点，则D=90 A证明：如图：DB 和 DC 是ABC 的两条外角平分线，D=180 12=180 （DBE+ DCF）=180 （A+ 4+A+3）=180
2、 （A+180 ）=180 A90=90 A；点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于 180，可以证明.命题 3 如图 3，点 E 是ABC 一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E= A证明：如图 3：1=2，3= 4，A+2 1=2 41+E=4 代入得：E= A点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题 4如图，点 E 是ABC 一个内角平分线 BE 与一个外角平分线 CE 的交点，证明:AE 是ABC 的外角平分线.证明：如图 3：BE 是ABC 的平分线,可得：EH=EFCE 是ACD 的平
3、分线, 可得：EG=EF过点 E 分别向 AB、AC、BC 所在的直线引垂线，所得的垂线段相等 .即 EF=EG=EHEG=EHAE 是ABC 的外角平分线 点评 利用角平分线的性质和判定能够证明应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看例 1 如图 5，PB 和 PC 是ABC 的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P 的度数.三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：由命题 2 的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题 2 的结论P=90 A ，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐
4、角三角形点评 此题直接运用命题 2 的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例 如图 6，在ABC 中，延长 BC 到 D,ABC 与ACD 的角平分线相较于 点， BC 与 CD 的平分线交与 点，以此类推，若 A=96，则 = 度解析：由命题的结论不难发现规律 A 可以直接得： = 96=3 点评此题是要找出规律的但对要有命题的结论作为基础知识例（203 陕西第一大题填空题第八小题，此题分）如图 7，ABC 的外角ACD的平分线 CP 的内角 ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题的结论可以知道是ABC 的一个外角
5、平分线，结合命题的结论知道BAC=2BPC, CAP= (180BAC )= (1802BPC )=50点评对命题 3、4 研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目例(2003 年山东省)如图，在 RtABC 中，ACB=90，BAC=30 ，ACB的平分线与ABC 的外角平分线交与 E 点，连接 AE，则AEB= 度解析：有题目和命题的结论可以知道 AE 是ABC 的一个外角平分线, 结合命题 2的结论知道AEB=ACB ACB=90 90=45点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“A=30”这个条件是可以不用的二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已
6、知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在ABC 中，ABC=3C，AD 是 BAC 的平分线，BE AD 于F。求证： 1()2BEA证明：延长 BE 交 AC 于点 F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以 AD 为BAC 的对称轴，又因为 BEAD 于 F，所以点 B 和点 F 关于 AD 对称，所以 BE=FE= 12BF，AB=AF，ABF=AFB。因为ABF FBC=ABC=3C ，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C ，所以FBC= C，所以 FB=FC，所以 BE= 12FC= （AC AF）= 12（ACAB） ，所以 ()BEA。二、已知一个
7、点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P 为 BN 上的一点，并且 PDBC 于 D，AB BC=2BD。求证：BAP BCP=180。证明：经过点 P 作 PEAB 于点 E。因为 PEAB ， PDBC ，1=2，所以 PE=PD。在 Rt PBE 和 RtPBC 中BPED所以 RtPBERtPBC（HL） ，所以 BE=BD。因为ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以 AE=CD。因为 PEAB ， PDBC ，所以PEB=PDB=90.21FED CBANPED CBA在PAE 和 RtPCD 中PEDBCA所以PAERt PCD ，所以PCB
8、= EAP。因为BAP EAP=180，所以BAP BCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC 中，PB、PC 分别是 ABC 的外角的平分线，求证：1=2证明：过点 P 作 PEAB 于点 E，PG AC 于点 G，PF BC于点 F因为 P 在EBC 的平分线上，PE AB，PH BC，所以 PE=PF。同理可证 PF=PG。所以 PG=PE，又 PEAB，PGAC ，所以 PA 是BAC 的平分线，所以1=2。G21PFECBA 三.角平分线-应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么
9、如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一、由角平分线的性质联想两线段相等例 1 如图 1，ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=CF证明 连结 DB，DCD 在A 的平分线上，DE=DFD 在 BC 的垂直平分线上，BD=DC又BED=CFD=90，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例 2 如图 2，BCAB，BD 平分ABC，且 AD=DC求证：A+C=180证明 延长 BA 至 F，使 BF=BC由 BD 平分ABC在FBD 与CBD 中，BF=BC ABD=CBD BD
10、=BDFBDCBD，C=F，DF=CD=AD，F=DAF，A+C=BAD+DAF=180三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例 3 已知：如图 3，ABC 的平分线 BF 与ACB 的平分线 CF 相交于点 F，过 F 作 DEBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：BD+CE=DE证明：BF 是ABC 的平分线 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理 CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例 4 如图 4，有三条公路 、 、 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到1l23l三条公路的距离相等，应如何选择建加油
11、站的地址？这样的位置有几种选择？EMDFCBA图 1FDCBA图 2EFCBDA图 3图 4A DB CE图 1-1解析：分别作ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有 4 种选择五.角平分线携“截长补短”显精彩 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.eg1 . 如图 1-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上，
12、ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 1-2在 FCE 与 BCE 中，CEBF FCE BCE（ SAS）,2=1.又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在 FDE 与 ADE 中，43DEAF FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.A
13、DB CE F1234图 1-2eg2. 已知，如图 2-1，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.分析：证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 2-21=2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE 与 Rt BPD 中，BDE Rt BPE Rt BPD(HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE 即 DC=BE-
14、AB=AE.在 Rt APE 与 Rt CPD 中,DCAEP Rt APE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180, BAP+ BCP=180eg3.已知：如图 3-1，在 ABC 中， C2 B，12.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 3-2 ACB2 E， ACB2 B， B E，在 ABD 与 AED 中,AD21 ABD AED（ AAS）, AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.AB CDP12N图 2-1D CBA12图 3-1ED CBA12图 3-2P12NAB CDE图 3-22-2方法二（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，如图 3-3在 AFD 与 ACD 中,ADCF21 A
