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1、单项式的乘法 单项式与多项式相乘 多项式的乘法一、教学内容1、会进行单项式的乘法运算2、会进行单项式与多项式的乘法计算3、会进行多项式的乘法计算二、教学要求1、理解并掌握单项式乘法法则，并能运用法则正确地进行计算；2、理解并掌握单项式与多项式的乘法法则，并会用它进行计算；3、理解并掌握多项式与多项式相乘的运算法则，并会用它进行计算。三、例题分析第一阶梯例 1运用乘法交换律与结合律，计算：(1)2x3y23xy3 (2)-4a2bc3ab2 (3) 提示：运用乘法交换律与结合律，可把各因式的系数，相同的字母分别结合，然后相乘.参考答案：解：(1)2x3y23xy3=(23)(x3x) (y2y3
2、)=6x4y5(2)-4a2bc3ab2=(-43)(a2a)(bb2) c=-12a3b3c(3)说明： 以上三道小题均是单项式单项式，通过计算我们知道单项式乘法有三项要点：1、积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值。2、相同字母相乘是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。3、只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉。综上所述，单项式乘以单项式的运算法则是：单项式的乘法，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。另外，我们还应知道：1、 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相
3、乘，仍然适用，如：2、单项式乘以单项式的结果仍然是一个单项式。例 2计算:(1)(-2x2y)23xy3 (2)(-ab2c3)4(-a2b)3(3)(-2x)3(3x2y)2 (4)(-3ab) (-a2c)35b2(c2)3提示：每小题各包含几种运算？当出现多级运算时，应按照什么顺序进行计算？参考答案：(1) (-2x2y)23xy3=4x4y23xy3=(43)(x4x)(y2y3)=12x5y5(2) (-ab2c3)4(-a2b)3=a4b8c12(-a6b3)=(-1)(a4a6)(b8b3) c12= -a10b11c12(3) (-2x)3(3x2y)2= -8x39x4y2=
4、(-89)(x3x4)y2= -72x7y2(4) (-3a)(-a2c)35b3(c2)3=-3a(-a6c3)5b3c6=(-3)(-1)5(aa6)b3(c3c6)=15a7b3c9说明：1、注意指数是 1 的情况，相乘时有别于系数 1 ，别忘记乘(即指数相加)；2、积的书写顺序一般按字母顺序排列，不一定按相同字母的积在前，不同字母的积在后；3、混合运算应特别注意运算顺序，先做第三级运算(乘方)，再算第二级运算(乘除)，最后是第一级运算(加减)，如果有括号就先算括号里面的。例 3利用乘法的分配律，计算：提示：乘法对加法的分配律的数学表达式是：m(a+b+c)=ma+mb+mc，其本质是将
5、单项式乘多项式，转化为单项式乘单项式，再把所得的积相加。参考答案：(1)2xy(3x2-2y+1)=2xy3x2+2xy(-2y)+2xy1=6x3y-4xy2+2xy说明：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加利用法则进行运算时一定要注意：1、多项式每一项都包括它前面的符号，如(1)小题的多项式 3x2-2y+1,共有三项 3x2,-2y,+1，运用法则计算时，一定要注意积的符号。2、单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项，因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中的多项式的项数相同。第二阶梯 例 1化简：(2)a3-2a2
6、5a-3(1+a)提示：进行混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，应先算括号里的先去小括号，再去中括号。参考答案：(2) a3-2a25a-3(1+a)=a3-2a2(5a-3-3a)=a3-10a3+6a2+6a3=-3a3+6a2说明：对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果。例 2我们知道，乘法对加法的分配律：即 p(a+b)=pa+pb，其中的字母 p 既可以是单项式，又可以是多项式，当 p=m+n 这个多项式时，有（m+n）(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb，从而得出了多项式乘法的法则：即多项式与
7、多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用这个法则计算：(1)(2x+y)(3x+2y) (2) (2a+3)(3a2-1) (3)(x-1)(2x2-3x+5)提示：多项式乘法的法则是什么？每个多项式共有几项？哪几项？参考答案： 解：(1)(2x+y)(3x+2y)=2x3x+2x2y+y3x+y2y=6x2+4xy+3xy+2y2=6x2+7xy+2y2(2)(2a+3)(3a2-1)=6a3-2a+9a2-3(3)(x-1)(2x2-3x+5)=2x3-3x2+5x-2x2+3x-5=2x3-5x2+8x-5说明：在应用多项式乘法法则进行计算时，要
8、注意三数和整理：1、项数-两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积。如(3)小题，积的项数在没有合并同类项之前，应是 23=6 项，别丢项。2、次数-每一个单项式与单项式乘法运算结果是否正确，是一个题目能否正确的保证，故在单项式的计算时要注意字母的次数。3、系数-积的各项系数及符号，是运算中最容易出错的地方，要特别留心各项系数一定要包括它前面的符号，再确定积中各项的符号，同号得正，异号得负。4、 整理-合并同类项。例 3判断下列各题计算是否正确，(对的打,错的打)(1)5x23x3=8x5 ( ) (2)-2x35x3=-10x3 ( )(3)2a35a2=10a
9、5 ( ) (4)3a34a2=12a6 ( )(5)(2a+3b) (-5ab)=-25ab ( ) (6)-2a(3a-2b+c)=-6a2-4ab+2ac ( ) (7)(3y-x)(x+3y)=x2-9y2 ( ) (8)(4103) (3102)=12105 ( )(9)-5a (-10a4)2=-500a9 ( ) (10)m2-(m+1)(m-5)=m2-4m+5 ( ) 提示：单项式单项式，单项式多项式，多项式多项式的法则是什么？在运用法则运算时，应注意什么？参考答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)说明：1、(1)-(4)小题是
10、单项式乘以单项式，系数应相乘，相同字母指数应相加；2、(5)、(6)小题是单项式乘以多项式，所得结果的项数应与多项式项数相同，在进行乘法时，注意每项应包括它前面的符号，按同号得正，异号得负确定积中每一项的符号，-2a(3a-2b+c)=-6a2+4ab-2ac3、(3y-x)(x+3y)=3xy+9y 2-x2-3xy=9y2-x25、 m 2-(m+1)(m-5)=m2-(m2-5m+m-5)=m2-m2+5m-m+5=4m+5第三阶梯例 1计算：(3)-xn(xn-x2+x) (4) (2xny2+3x)(4xym-2y)提示：指数带字母的整式乘法与指数是数字的整式乘法的运算过程完全一样。
11、 参考答案：(3)-xn(xn-x2+x)=-x2n+xn+2-xn+1(4)(2xny2+3x)(4xym-2y)=8xn+1ym+2-4xny3+12x2ym-6xy说明：1、(2)小题中，当 n 为偶数时(x-y) n=(y-x)n,当 n 为奇数时，(x-y) n= -(y-x)n(x-y) 2=(y-x)2或 (y-x) 3= -(x-y)32、注意 xnxn=xn+n=x2n,xnx2=xn+2x 2n,同底数幂相乘，指数应相加。例 2化简求值：(1)(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7),其中 .(2)2a(a2-ab-b2)-3ab(4a-2b)+2b(7a2-4ab
12、+b2),其中 .提示：先将题目化简，再代入求值。参考答案：解：(1)(3x 2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7)=9x4-2x3-2x2-3x3+21x=9x4-5x3-2x2+21x (2)2a(a2-ab-b2) -3ab(4a-2b)+2b(7a2-4b+b2)=2a3-2a2b-2ab2-12a2b+6ab2+14a2b-8ab2+2b3=2a3-4ab2+2b3 说明：1、化简时，结果要化为最简形式，合并同类项后一般按某一字母的降幂或升幂排列.2、代入时，若代入的是负数或遇到分数的乘方，一定要加括号.例 3我们知道，(x+a)(x+b)=x 2+bx+ax+ab=x2+(a+
13、b)x+ab 利用这一公式，写出下列各式的结果(1)(x+5)(x-6) (2)(y-2)(y-3) (4)(n-9)(n+9)提示：认清各小题哪一项相当于公式中 a，哪一项相当于公式中的 b，再代入公式计算.参考答案： (1)(x+5)(x-6) =x2+5+(-6)x+5x(-6)=x2-x-30(2)(y-2)(y-3)=y2+(-2)+(-3)y+(-2) (-3)=y2-5y+6(4)(n-9)(n+9)=n2+(-9+9)n+(-9)9=n2-81说明：从(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 这一公式中可以看出，在两个因式都是关于 x 与某个数的和的乘法运算中，若 x
14、的系数均为 1,则乘积是一个关于 x 的二次三项式，x 2的系数是 1，x 的系数是两常数之和(a+b)，常数项是两常数之积(ab).四、检测题1下列计算正确的是( )A.9x32x2=18x5 B.2x53x4=5x9C.3x34x3=12x3 D.3y55y3=15y152计算-2a 2(a2-3a+2)的结果是A.-2a4-6a3+4a2B.-2a4+6a3-4a2C.-2a4+6a3-4a2D.-2a4-6a3-4a23以下各式中(a-2b)(3a+b)=3a 2-5ab-2b2 (m-2)(m+3)=m 2-5m-6(x+y)(x-y)=x 2-y2 (2xy-3y) (3x-2)=
15、6x 2y-13xy-6y 其中正确的有：A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4如果的积中不含 x 项，那么 a 的值是A.B.5 C.-5 D.5.(1) = (2)(-2x2y)2 3y2z= (3) = (4) = (5)-xn(x2-x+1)= (6)2a2-a(2a-5b)-b(2a-b)= (7)(x+1)(x2-x+1)= (8) = (9)(3x2y-2yn)(xny2-y2)= (10) 6.化简求值：(1)(x-2)(x2-6x-9)-(x-5)(x-3)x 其中 .(2)已知|a+b-4|+(2a-b-5) 2=0,求(a+3b)(a 2-3ab+9b2)的值.7.解方程和不等式：(1)5x(x+2)-(x+1)(x-1)=4(x2-6)(2)(x-3)(x-2)+18 (x+9)(x-1) 答案：1、B2、C3、D4、C5、(5)-xn
