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1、第 1 章 绪论- 1 -理学硕士学位论文复杂网络自适应同步和控制策略研究袁正中漳 州 师 范 学 院二一年五月攻读硕士学位期间完成的论文- 2 -第 2章 复杂网络自适应全局同步2.1 引言同步是网络的一个重要特性。近几年里，复杂网络的同步问题已经深入到了各个学科，甚至工程领域。许多关于线性耦合网络同步的有效方法被提出并得到进一步的深入分析研究。文献10 首先提出了主稳定函数方法，并利用主稳定函数实现了线性耦合网络的局部同步。由于此方法只需要计算外耦合矩阵的特征值，所以被广泛应用于研究线性耦合网络的局部同步问题。同时也有部分利用主稳定函数方法关于有向和无向网络的全局同步结果。这些结果说明不管
2、是对于局部还是全局同步，主稳定函数方法都是一个很有效的方法。然而外耦合矩阵的特征值计算是一个比较复杂的问题，它一般只适用于简单的耦合方式，对于复杂的网络，它的计算是非常困难的。在文献15-17中，作者提出了一种不需要计算外耦合矩阵特征值来实现网络同步的方法。这种方法通过将 Lyapunov 函数与图论进行联系，不仅能实现网络局部同步，同时也能实现网络的全局同步，并且还可以应用在时变网络上。而在文献18-25中，自适应控制方法被引入并实现了网络的局部和全局同步。特别是在文献18中，作者提出 引导渐近稳kx定概念，应用自适应方法研究了复杂网络的同步问题，得到了网络同步的自适应控制器。而文献19 的
3、作者研究了具有自适应耦合强度的复杂网络的同步问题，利用网络自适应调节耦合强度来实现网络的最终同步。然而作者所提出的自适应耦合强度是一个向量函数。文献18所提出的引导渐近稳定概念只针对于单分量引导渐近稳定情形。实际的系统很难满足这一条，它们往往要通过几个分量一起作引导才能最终实现稳定这一目标。如系统 就不能通过任何单个分量进行引导而达到稳定，但却可以通过3121312xx和 这两个分量进行引导而稳定；另外文献18中对统一混沌系统， 引导渐近稳1x2 1ie攻读硕士学位期间完成的论文- 3 -定只对于参数取 内值时才成立，而如果用 和 一起引导能将参数取值范围10,291ie2i扩大到0,1。而且
4、在实际的网络中，耦合强度也不应该是一个向量函数。有鉴于此，我们在本章中提出 引导渐近稳定概念，也就是系统的引导稳定效(1,)(kxsn果通过多个分量同时作用实现。我们利用这个概念研究了具有自适应耦合强度的网络同步问题。利用 Lyapunov 直接法，在一个简单自适应控制器作用下，这类网络能有效地达到全局同步。我们的控制策略是设置两个相连节点之间的自适应耦合强度，而且我们的耦合强度只与这两节点的部分状态分量有关，舍弃了一些多余的状态分量信息。最后以统一混沌系统作动力学行为的星型耦合网络和环型耦合网络作为例子，验证了在引导渐近稳定概念下，我们提出的自适应耦合强度能最终实现网络的同步。当然这种方法也
5、同样适用于其它任何类型的网络。 2.2 网络模型和预备知识考虑由 个相同节点构成的无向无自环的线性耦合复杂网络，其动力学方程可表N示为(2.1)1()()NiiijjjxFatx 1,2iN其中 是节点状态变量， 为一连12(,TniiixR 12()(),()TiiiniFxFx续的非线性向量函数， 代表孤立节点动力学方程。()iix是网络的内耦合矩阵，代表节点状态分量耦合情况以01(,)kndiagM 及内耦合强度，一般取 并代表耦合的节点通过第 个分量耦合。ii代表复杂网络拓扑结构，一般被称为网络的外耦合矩阵。其元素定()ijNAt义如下，当节点 和 耦合（相连）时， ，否则 。j ()
6、0ijjiatt()0()ijjiattji所以矩阵 不仅表示了网络的耦合情况，还代表了网络节点之间的耦合强度。也就是我们研究的网络是一个时变加权网络。为书写方便，在下面的书写过程中，我们用代替原来的 。矩阵 的对角线元素定义为ija()ijatA攻读硕士学位期间完成的论文- 4 -( ) (2.2)1Niijja,2定义 2.1：系统 的平衡点 被称为是12(),)TnxfxR 0x引导渐近稳定的，如果分量 的渐近稳定性能最(1,2)(kxsn (1,2)ks终导致平衡点 的渐近稳定性。0x注 2.1：从定义 2.1 可以看出，文献18的引导渐近稳定概念只是我们的概念中这种特殊情况。所以我们
7、的定义是更一般的情形。1s设误差 ,显然 。误差系统为12(,)Tijijijnjieex 0,ijiijee(2.3)1()NijjijkikFa ,12,ijN如果对于任意的状态初始值，节点状态最终达到，亦即 ，我们就称12()(),Nxttxt 0,()ijet,ij网络 (2.1)达到全局同步。2.3 主要结论定理 2.1 如果系统（2.3）满足如下条件：(I) 非线性函数 满足全局一致 Lipschitz 条件，亦即对于任意的 , 存:nFR xy在常数 使得 成立； 0l|()|xylx(II) 平衡点 是 引导渐近稳定的；ije01,2;,12,)(ijksijNsk (III)
8、 非零耦合强度 满足如下的自适应变化律()ija， (2.4)()()TTijijijijjijkePkxPx则网络（2.1）在耦合强度（2.4）的作用下将达到全局同步，其中 为任意正常数，0ijk。(1,0,)sPdiag 证明： 设 Lyapunov 函数为攻读硕士学位期间完成的论文- 5 -. (2.5)211()22NNTij iji ijVePack其中 是一个适当的正常数，它的值将在后面进行估计。很明显函数 关于 c V是正定的。其导数为(1,2)ijkes111 1 1()()()()NNTij ijiji ijN NTTijji jkijkijikijiji ij ijVPea
9、ckFxePaeack =(2.6)式（2.6）的第一部分和式可根据条件（I）计算为； (2.7)11 1()(NNT Tijjiiji ijSePFxleP 而第二部分和式可按如下方式计算：根据 ，我们得到Tijjie。 (2.8) 21 1()()N NTTTTjkijkijikjkijkijikij ijSaePeaePe 将式（2.8）第二部分的求和指数 和 互换，这样第二部分就化解为跟第一部分一致。ij所以整个和式简化为。 (2.9)21NTjkijkijSaeP再利用 ，我们将和式改写为0je。 (2.10)211( )jNNTTkjijkjkijkij ijSaeae再次将第二部
10、分的求和指数 和 互换，并且利用矩阵 的对称性，我们进一步计算可A得攻读硕士学位期间完成的论文- 6 -(2.11)2111( )2()jNNTTkjijkjkikjij ijkijkjkijkij iNTjkikjijSaePaePae ，又根据 以及 的对称性，我们可以计算出TTTjikijkijkexxA(2.12)211NTjkjkij NTjkjkjkjkj jSaePaeP。所以综合上面对 和 两步计算，我们得到1S2(2.13)111111()NNNTTij ijij ijijij i ijTij ijij ijijijij i ijNTij ijiVlePaePackl ePe
11、lce 。由于 ，所以对于足够大的常数 ，我们可以保证0skc，其中 ，也就是说 12=(,0)()snlPcdiagcMR 0(1,2)ics V关于 是负定的。根据 Lyapunov 直接法，对于任意的初始状态，可知 )ijke。又由于系统（2.3）是 引导渐近稳定的，0(,ij s 0(,)(ijkesk所以网络（2.1）在耦合强度（2.4）的作用下将达到全局的同步。#注 2.2：当 ( )有界时，条件（I）自然成立。实际应用中只要零解ijFx,12,n的吸引域是 中的一个确定区域时，我们也称零解在这个区域上是全局渐近稳定的nR59。对于混沌系统而言，吸引子都是有界的，进而 满足有界性，
12、所以条件（I）ijFx对于很多混沌系统都是成立的，比如 Rssler 系统、统一混沌系统等。攻读硕士学位期间完成的论文- 7 -注 2.3： 在实际应用中，我们可以取 ( )，且自适应律可以取为ijk,12,jN更简单的形式 , 。 ()()TTijijijijakePxPx 注 2.4： 从定理中可以看出当网络达到同步后 ( ) ，其中 ijijaC,12,是某些正常数，代表网络同步后的常数边权值。ijC注 2.5：我们的控制策略为对每条耦合边设置自适应控制律，且自适应控制律只与相连节点起引导作用的耦合分量有关，与多余的耦合分量无关。2.4 数值算例为验证定理所利用的耦合强度设置方法的有效性
13、，我们以统一混沌系统为网络节点动力学方程的两种规则网络星型耦合网络和环型耦合网络做数值仿真验证。当然，我们的方法适用于任何类型的网络。统一混沌系统可表示为， (2.14)1212 21333(50)(89)/xaxax当 时，系统表现的混沌行为已被大家所熟知。0,1a我们选择 , ,即网络动力学方程为123(,)diagi0(12)( )。 (2.15)12112 2322131315(8)(9)/Ni iiijNi i iiijNii iijxxaxaaxxxax ,N于是误差系统为攻读硕士学位期间完成的论文- 8 -。12112 2322213123 31(50)()()89()(,1,)
14、(8)/()Nij ijijjkikNij ijijji jkikNijji ij jkikeaeaexaejNexaeae (2.16) 为了利用定理条件，我们需要下面的定理。定理 2.2 对任意 ，系统(2.16)是 引导渐近稳定的。0,1a(1,2)ijke证明： 当 时，取如下的 Lyapunov 函数：=(2)ijke， (2.17)231NijiVe则。 (2.18)23333111(8)/+()NNNij ij jkijikjii ij ijVeaeaee类似于 的计算，我们可以得到 ，这样对任意的2S 331()0jkijikjiij ，就有 。所以 ，亦即系统(2-16)是0,1a0V30(),2,ijetN引导渐近稳定的。#(2)ijke于是如果我们取耦合强度 ，那么方程（2.16）满2211()()ijijijijijakxkx足定理三个条件，亦即网络最终将实现全局同步。注 2.6：根据注 2.3，我们在数值仿真中取， (2.19)221()()TijijijijakePxkx同时取 ， ， 。(1,23)dig0.7N
