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1、高中数学必修 3 第一章教案 1111 算法的概念一、三维目标：1、 知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。 （2）能够用自然语言叙述算法。 （3）掌握正确的算法应满足的要求。 （4）会写出解线性方程（组）的算法。 （5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 （6）会应用 Scilab 求解方程组。2、 过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。3、 情感态度
2、与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。难点：把自然语言转化为算法语言。三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数 n(n1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；)，并且能够重复使用。2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算 12345 是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水” “替我理发”等则是做不到的。教学用具
3、：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、 创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。2、 探索研究算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，
4、把进行某一工作的方法和步骤称为算法。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算高中数学必修 3 第一章教案 2法、函数求值的算法、作图的算法，等等。3、 例题分析：例 1 任意给定一个大于 1 的整数 n，试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 1做出判定。算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：第一步：判断 n 是否等于 2，若 n=2，则 n 是质数；若 n2，则执行第二步。第二步：依次从 2
5、至（n-1）检验是不是 n 的因数，即整除 n 的数，若有这样的数，则 n 不是质数；若没有这样的数，则 n 是质数。这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法。例 2 用二分法设计一个求议程 x22=0 的近似根的算法。算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过 0.005，则不难设计出以下步骤：第一步：令 f(x)=x22。因为 f(1)0，所以设 x1=1，x 2=2。第二步：令 m=(x1+x2)/2，判断 f(m)是否为 0，若则，则 m 为所长；若否，则继续判断 f(x1)f(m)大于 0 还是小于 0。第三步：若 f(x1)f(m)
6、0，则令 x1=m；否则，令 x2=m。第四步：判断|x 1x2|max, 则 max=b.S3 如果 Cmax, 则 max=c.S4 max 就是 a,b,c 中的最大值。综合应用题例 5 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法。分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 1+2+n= 进行，也可2)1(以根据加法运算律简化运算过程。解：算法 1：S1：计算 1+2 得到 3；S2：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6；高中数学必修 3 第一章教案 4S3：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10；S4：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15；S5：将
7、第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21。算法 2：S1：取 n=6；S2：计算 ；)1(nS3：输出运算结果。算法 3：S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=37；S2：计算 37；S3：输出运算结果。小结：算法 1 是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+10000，再用这种方法是行不通的；算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法，但比较而言，算法 2 最为简单，且易于在计算机上执行操作。学生做一做 求 1357911 的值，写出其算法。老师评一评 算法 1；第一步，先求 13，得到结果 3；第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结
8、果 15；第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105；第四步，再将 105 乘以 9，得到 945；第五步，再将 945 乘以 11，得到 10395，即是最后结果。算法 2：用 P 表示被乘数，i 表示乘数。S1 使 P=1。S2 使 i=3S3 使 P=PiS4 使 i=i+2S5 若 i11，则返回到 S3 继续执行；否则算法结束。小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法 2 不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5 构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量 P、i 的值都发生了变化，并且
9、生循环一次之后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验，一旦发现 i 的值大于 11 时，立即停止循环，同时输出最后一个 P 的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。高中数学必修 3 第一章教案 54、课堂小结本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午 2 时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。若用自然语言来描述可写为（1）1:00 从家出发到公共汽车站（2）1:10 上公共汽车（3）1:40 到达体育馆（4）1:45 做准备活动。（5）2:0
10、0 比赛开始。若用数学语言来描述可写为：S1 1:00 从家出发到公共汽车站S2 1:10 上公共汽车S3 1:40 到达体育馆S4 1:45 做准备活动S5 2:00 比赛开始大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。5、自我评价 1、写出解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的一个算法。2、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法（打印结果）6、评价标准1、解：算法如下S1 计算=b 2-4acS2 如果0，则方程无解；否则 x1=S3 输出计算结果 x1，x2 或无解信息。2、解：算法如下
11、：S1 使 i=1S2 i 被 3 除，得余数 rS3 如果 r=0，则打印 i，否则不打印S4 使 i=i+1S5 若 i1000,则返回到 S2 继续执行，否则算法结束。7、作业：1、写出解不等式 x2-2x-30 的不等式的解的步骤（为方便，我们设 a0）如下：第一步：计算= ；acb42第二步：若0，示出方程两根 （设 x1x2） ，则不等式解集acbx242,1为 x | xx1或 xc , a+cb, b+ca 是 否否同时成立？是结束开始结束高中数学必修 3 第一章教案 113）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构
12、，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）一类是当型循环结构，如图 1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件 P1 成立时，执行 A 框，A 框执行完毕后，再判断条件 P1是否成立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件 P1不成立为止，此时不再执行 A 框，从 b 离开循环结构。（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P2是否成立，如果 P2仍然不成立，则继续执行 A 框，直到某一次给定的条件 P2成立为止，此时不再执行 A 框，从 b 点离开循环结构。
13、A AP1？P2？ 不成立不成立成立b b当型循环结构 直到型循环结构（1） （2）例 4：设计一个计算 1+2+100 的值的算法，并画出程序框图。算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为 0，计数变量的值可以从 1 到 100。高中数学必修 3 第一章教案 12程序框图：i100？否 是3、 课 堂 小 结 ：本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法
14、的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达4、自我评价：1） 设 x 为 为 一 个 正 整 数 ， 规 定 如 下 运 算 ： 若 x 为 奇 数 ， 则 求 3x+2； 若 x 为 偶 数 ， 则 为 5x， 写 出算 法 ， 并 画 出 程 序 框 图 。2） 画 出 求 21+22+23+2100的 值 的 程 序 框 图 。5、评价标准：开始结束i=1Sum=0i=i+1Sum=sum+i输出 sum高中数学必修 3 第一章教案 13输出 p1 解 ： 算 法 如 下 。S1 输 入 xS2 若 x 为 奇 数 ， 则 输 出 A=3x+2； 否 则 输 出 A=5x S3 算 法 结 束 。程 序 框 图 如 下 图 ：i30? 是否开始i=1p=0p=pxi结束i=i+1高中数学必修 3 第一章教案 14输出 p2、 解：序 框 图 如 下 图 :i100? 否是6、作业：课本
