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1、第三章 力偶系,3-1 平面力对点之矩的概念和计算,一、平面力对点之矩（力矩）,力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂,1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向,两个要素：,力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的 大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时 针转向时为正，反之为负.常用单位Nm或kNm, 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：,二、合力矩定理,由合力投影定理有：, 证明,od=ob+oc,又,三、力矩与合力矩的解析表达式,3-2 平面力偶理论,一.力偶和力偶矩,1.力偶,由两个等值、反向、不共线的（
2、平行）力组 成的力系称为力偶，记作,两个要素,a.大小：力与力偶臂乘积,b.方向：转动方向,力偶矩,力偶中两力所在平面称为力偶作用面,力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂,2.力偶矩,二. 力偶与力偶矩的性质,1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.,2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.,力偶矩的符号 M,3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,=,=,=,=,4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.,=,已知：,任选一段距离d,三.平面力偶系的合成和平衡条件,=,=,=,=,=,平面力偶系
3、平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.,例,求:,解:直接按定义,按合力矩定理,已知: F=1400N,例,求：,解：,由合力矩定理,得,已知：q,l；,合力及合力作用线位置.,取微元如图,例,求： 光滑螺柱AB所受水平力.,已知：,解得,解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端约束反力?,解: 合力偶矩,平面力偶系平衡,例 图示结构，求A、B处反力。,解：1、取研究对象,整体,2、受力分析,特点：力偶系,3、平衡
4、条件,mi=P 2aYA l=0,思考,m i= 0,P 2aRB cos l=0,求图示简支梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.,解:取梁AB为研究对象,RA,RB,45o,45o,RA = RB = R,m(RA , RB) = Rlcos 45o, mi = 0,Rlcos 45o- m = 0,R = RA = RB =,例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.,解
5、: AB为二力杆,SA = SB = S,S,S,S,S,取OA杆为 研究对象., mi = 0,m2 0.6 S = 0,(1),取O1B杆为研究对象., mi = 0,0.4sin30o S - m1 = 0,(2),联立(1)(2)两式得:,S = 5N,m2 = 3Nm,例,求：平衡时的 及铰链O，B处的约束力.,解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.,取杆BC，画受力图.,解得,已知,解得,1、力对点的矩以矢量表示 力矩矢,33 力对点的矩矢和力对轴的矩,（3）转向：即使刚体绕转轴转动的方向.,（2）转动轴方位:力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位,(1）大小:力F与力臂
6、的乘积,三要素：,力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为,2.力对轴的矩,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.,力对轴的矩的解析式,由合力矩定理：,即,同理可得其余两式，即有：,3.力对点的矩与力对轴的矩的关系,即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对 该轴之矩,例：求图示手柄上的力F 对三个坐标轴之矩,F作用点:,F在坐标轴上的投影：,34 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积；,（3） 作用面：力偶作用面。,（2） 方向：转动方向；,2、力偶的性质,（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。,
7、(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .,（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.,=,=,=,=,(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.,定位矢量,力偶矩矢相等的力偶等效,力偶矩矢是自由矢量,自由矢量,滑移矢量,3力偶系的合成与平衡条件,=,=,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡方程.,空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即,例 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.,求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影,解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .,求:轴承A,B处的约束力.,例,已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.,解：取整体，受力图如图所示.,例,求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力.,解：两杆为二力杆，取正方体，画 受力图建坐标系如图b,以矢量表示力偶，如图c,设正方体边长为a ,有,有,杆 受拉， 受压。,
