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1、教 案课 程 名 称： 高 等 数 学课 程 性 质： 公 共 必 修计 划 学 时： 8 0 计 划 学 分： 5 授 课 班 级： 网 络 会 计，物 流授 课 学 期： 2010-2011下主 讲 教 师： 职 称： 讲 师 教 研 室： 高 等 数 学第5章 无穷级数教学目的： 1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的
2、收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式； 教学难点：1、 比较判别法的极限形
3、式；2、 莱布尼茨判别法；3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、 函数项级数的收敛域及和函数；5、 泰勒级数；6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。教学方法：讲授法，任务驱动教学手段：黑板板书计划学时：20学时5. 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限
4、s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比. 解 如果q1, 则部分和 . 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. 如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为 a-a+a-a+ , 时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时
5、级数也发散. 综上所述, 如果|q|1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|1, 则级数发散. 仅当|q|0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当nN时有unkvn(k0)成立, 则级数发散. 例1 讨论p-级数 的收敛性, 其中常数p0. 解 设p1. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当p1时级数发散. 设p1. 此时有 (n=2, 3, ). 对于级数, 其部分和 . 因为. 所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数当p1时收敛. 综上所述, p-级数当p1时收敛, 当p1时发散. 例2 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所
6、给级数也是发散的. 定理3 (比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, (1)如果(0l+), 且级数收敛, 则级数收敛; (2)如果, 且级数发散, 则级数发散. 例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设为正项级数, 如果, 则当r1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数的收敛性. 解 因为, 根据比值审
7、敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数的收敛性. 解 . 这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法) 设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r: , 则当r1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的. 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为 + . 例6判定级数的收敛性. 解 因为 , 所以, 根据根值审敛法知所给
8、级数收敛. 定理6 (极限审敛法) 设为正项级数, (1)如果, 则级数发散; (2)如果p1, 而, 则级数收敛. 例7 判定级数的收敛性. 解 因为, 故 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例8 判定级数的收敛性. 解 因为 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为, 其中. 例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1. 简要证明: 设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2nu1), 所以收敛. 设s2ns(n), 则也有s2n+1=s2n+u2n+
