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1、校本课程材料包-讲义分形几何与分形艺术欣赏高二年段 袁小林分形几何与分形艺术欣赏欧几里德欧氏几何与分形几何有何区别呢？同学们学习在小学开始接触几何这门学科了，在初中初步学习了平面几何，在高中学习平面解析几何和立体几何。但同学们所学的这些几何都是经典几何学，以规则的几何图形如圆、三角形等为研究对象，属于欧氏几何（欧几里德几何）范畴。除了欧氏几何，还有其它的非欧几何，比如分形几何。观察下面的绘画作品，感受这些作品反映出的不同几何特征。 经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥
2、、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。分形几何的创始人芒德勃罗为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，芒德勃罗（Mandelbrote）提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。比较经典几何学与分形几何学，它们的差别在于：一它们
3、对自然形体描述不同：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。二它们对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异：经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。经典几何学建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；分形几何学建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，
4、还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家是通过运动或过程的方式，表达内心的情感，生成画面。这种画面是生长出来的，不是事先已经有了方案，然后建构出来的。欧几里得几何分形几何经典的（2000多年的历史）现代数学怪物（30多年的历史）基于特征长度与比例无特征长度与比例适合于人工制品实用于大自然现象图形规则图形不规则图形的结构层次有限图形的结构层次无限局
5、部一般不具有整体的信息局部往往具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂图形复杂，其背后的规则经常是简单的用公式描述用（递归或迭代）算法描述认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：我们正在学习什么？或者说：什么是分形？什么是分形？让我们来看下面的一个例子。举一个最常见的例子：西兰花瓣下西兰花的一小枝，你会发现这一小枝西兰花与原来的大枝除了大小上，形状上十分相似。再在这一小枝上瓣小更小的一枝西兰花，所得到的这一更小西兰花与原来的在形状上依然十分相似。又比如：下图是一棵厥类
6、植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。如右上图所示的图形，你会发现小圆内部结构与大圆内部结构是自相似的，换句话说，小圆内部不断重复着大圆内部的结构。以上图形的呈现一个共同特点就是物体的部分与整体相似，清楚了这一点，就可以形成对分形概念的感性认识。分形就是那些有趣的东西，它的每一个小小的组成部分，都和整体一样，只是进行了一定的缩小。分形最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小
7、了一些而已分形艺术的现实应用即使你不懂得其中深奥的数学哲理，分形图片所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，也会为之感动。分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形理论与数字图像处理技术结合起来，使生成的分形图形可人工干预，以产生协调自然，丰富多彩，并具有较高艺术性的图案。无疑，这些分形图形将对绘画、雕塑、建筑设计、印染工业、装演和广告设计等产生深远的影响。随着分形理论的进一步发展与完善，用分形理论产生出的分形图形其应用的前景也会得到广泛地推广。1.分形模拟自然景象图片1 分形山上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例
8、子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。图片2 花 图片3 分形风景2.分形的动画（电影）应用由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达1：1000，在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影星际旅行：可汗的愤怒中新行星的诞生以及吉地的返回中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。分形山3.装演设计在房屋装演设计中，特别是在艺术家的工作室内，如果用上分形图形来进行装修，那么整个房子就更加显示出艺术的色彩。图2.1就是用分形图形制作
9、的壁画。 1999年9月，中国邮电电信总局发行了一套四枚的分形几何中国电信IC电话卡，图2.2是这套IC卡的电话卡折。这套卡正面，第一张是著名的sierpinski三角形，第二、三、四张选用几种自然界的分形图形:瀑布和沙漠、松枝和海洋生物、海岸和山脉，它们既属于分形几何范畴，又是色彩缤纷、婀娜多姿的自然.景观，卡的背面选用四幅“分形艺术”作品，从艺术和科学两个视角同时欣赏更加耐人寻味，极具收藏价值 分形几何图2.2分形几何中国电信IC电话卡和GOOLE的分形图标为了纪念法国数学家GstonJulia，以搜索引擎而闻名世界的网站gogoel把它的图标曾经改成图2.1中右面的图样，图标上面的数学公
10、式就是数论中有名的Julia序列。4服装设计、明信片、在纺织行业，己经有印有分形图案的丝巾、布料成品乃至成衣制品。分形图形在印刷行业有更广阔的用途。立体印刷是印刷技术中的一种。当从不同角度去观察图形时就会出现图形变化的动画效果，图2.3是用立体印刷把分形图形印制在名信片上和笔筒外表面上的成品照片。而图2.4是普通印刷技术制成的分形名片和分形书签。图2.3名信片和笔筒分形 图2.4名片面和书签服装设计 此外，在陶瓷制品、书籍封面设计和礼品包装上，也出现了富于表现的分形图案。在利用分形方法创造出与众不同的景观方面已完成了一些开拓性的工作，电影中出现了分形风景，分形动画也在游戏、宣传广告和电视片头中
11、有了更为广泛的应用。(2)将分形图形用于信息加密防伪。(3)其它领域的应用刘华杰博士认为分形图像有如下用途： 1、将高精度分形图形具体应用在建筑设计中，可以考虑将整面墙壁用一幅分形图装饰。 2、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。 3、设计分形时装。 4、将分形图形用于信息加密防伪。 5、印制分形贺卡、明信片和小台历分形在科学哲学打开了一个完全崭新几何学大门，应用广泛，这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。它的是如此，它的特性是如此迷人。由计算机模拟制作的山峰，也已被IBM公司应用于广告宣传中。分形的视觉
12、效果更使分形装饰布和分形壁纸必将成为人们日后的新宠。分形明信片和分形广告已推出了十多年，分形日历也早已问世。意义.分形几何学能为自然界中存在的各种景物提供逼真的描述。这些景物形态复杂、不规则，而且显得十分的粗糙，使得采用传统的几何工具进行描述遇到了极大的困难，而分形模型却能很好地描述自然景物，因为自然界中的许多实际景物本身大体上就是分形，或者反过来说，按照分形几何方法构造的形体非常像许多自然景物。分形几何在近十几年来得到很大发展，它最重要、最直接的应用领域是计算机科学，它为自然景物的模拟提供了理论基础及造型方法。目前，分形是非线性科学中的一个前沿课题。一般地可把分形看作大小碎片聚集的状态，是没
13、有特征长度的图形和构造以及现象的总称，由于在许多学科中的迅速发展，分形成为一门描述自然界中许多不规则事物及现象的规律性的学科。因此人们意识到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解自然界和社会。分形图形生成技术在各个领域得到了广泛的应用，也推动了分形理论的发展，随着对逼真程度和审美要求的不断提高，从简单的Mandelbrot集和Julia集，到科幻电影上的分形风景，以及近年来印有分形纺织纹样的分形时装，无不昭示着分形图形正慢慢从科学家们的思想中走进我们身边的真实世界。一些用户己经不再满足观看各种分形图片和分形产品，而是希望自己能够参与设计分形图形。因此，能用尽可能通俗易懂的方式，如何在一个实时
14、、交互的信息交流界面，使不太了解复杂科学理论的用户可以通过简单操作计算机，修改少量参数生成分形图形，同时完成一定的颜色调整、图形的比较及存储等相关功能，生成有一定艺术价值的分形图形，已成为当前一个被众多的计算机、数学及至艺术工作者所关注的新课题，我们的课题就是在这样的背景下提出来的。分形是无标度意义下，具有无穷细节的自相似的形，体现了自然界的无序和变幻无穷的美。而利用分形理论来生成的计算机图形，是用一般的平面图形设计软件很难生成的具有自相似的图形，且一般的平面图形设计的软件生成的图形都是按照经典的欧氏几何来进行图形的算法的建立，这样就很难逼真、形象地描述自然界的美构造出绚丽多彩的分形图形。随着计算机在图像处理方面的技术的成熟，用计算机生成分形图形，使人们能获得外观新颖奇特、内容丰富多彩的平面图形。人们对这一领域表现出了极大的关注，这是一种全新的图形设计的构思来源和方法，具有广阔的应用前景。第二章 分形几何与分形艺术1分形几何普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代
