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1、量子力学与统计物理基础第一章 量子概述1 第一章 量子概述所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。1.1. 运动的“不连续性”1 运动究竟是怎样的呢？你可能会不假思索地回答说，“运动显然是连续的！”的确，这是物体运动所给我们的最 直接的感觉印象。我们所看到的、所感觉到的都是连续运动，它存在的合理性似乎是显然的，无需给出。一个物体在不受外力影响时，将保持它的运动速度，因为没有原因导致它改变运动速度，于是它要么静止，要么以不变的速度连续移动；又如，一个自由运动的物
2、体在某一时刻处于空间中的某个位置，在下一时刻它将只能位于原处或邻近的位置，因为没有原因导致它突然出现在某个不相邻的位置；同样，它也无法从一个位置运动到另一个位置而不经过中间的位置，因为没有原因导致这样的“跳跃”。2 什么是连续运动呢？你能给出一个较为严格的描述吗？例如，在一条直线上怎么说明物体从位置0连续运动到位置1呢？你也许会说，这很简单，不就是物体连续地通过它们之间的所有的点吗？但是，在0与1之间到底有多少个点呢？显然有无穷多个点，例如有1/2，1/4，1/8，你用一生的时间也无法数完它们！于是，问题就来了，你如何能知道物体通过了0与1之间的无穷多个点呢？如果不知道，你又怎么能说物体通过了
3、0与1之间的所有点呢？如果不能说，你又怎么证明物体的运动是连续的呢？！3 如何验证连续？然而，这也许难不倒你。你会争辩说，尽管无法测量出物体通过了0与1之间的无穷多个点，但是可以通过一个似乎自明的假设来证明它通过了0与1之间的所有点，从而证明物体的运动是连续的。这个假设就是：物体由一点运动到另一点必先通过它们的中间点。但是，你如何验证这个假设呢？对于比较大的空间距离，它也许是对的，然而，对于越来越小的空间距离，你验证过它吗？尤其是还存在无穷多个长短不同的空间距离呢！如1/2，1/4，1/8，你同样无法完成这无穷次测量验证，因此你仍然无法证明物体的运动是连续的。4 数学的连续与物理的连续概念有何
4、不同？数学的连续概念定义为抽象的，物理的连续概念是相对的，具有可比性。结论：看来，无穷挡住了我们的去路。我们必须进入越来越小，甚至是无穷小的时间和空间，才能最终发现物体真实的运动形式。1.2量子里程碑能量量子化概念1黑体模型：设想有一容器，它由能够阻挡电磁辐射的器壁组成，并假设器壁表面上有一无限小的孔。从这个孔射入的辐射，将不可能以可观测的几率找到再射出的途径，因此这个容器小孔就是黑体。2黑体辐射：容器内部的辐射场，在给定的温度下，与容器处于热平衡，这个辐射场就是黑体辐射。已经证明，辐射谱的分布和体密度只与温度有关，而与器壁的详细性质或任何其他因素无关。我们注意到，正是这种与细节无关的特点，使
5、得黑体辐射成为这么重要的试验基础，可以用来了解处于热平衡下的物质与辐射间的能量交换。3“紫外灾难”根据经典统计力学的均分定理，热平衡时，每一振动自由度具有相同的平均能量kT。现在，可以证明，频率在v到v+dv之间的模数为（8p/c3）Vv2dv；这里的V是空腔的体积。因此，我们得到了不合理的结果：黑体辐射的能量密度等于(8p/c3)kTv2dv，这就是说，频率在v和v+dv之间的辐射密度随频率的平方无限制地增加，因而空腔中的总电磁能量为无限大，产生“紫外灾难”。4能量量子化概念普朗克首先揭示出某些自由度不参与能量分配的奥秘，当时他提出，频率为v的振动模式的能量只会取不连续的值，不会像经典理论所
6、说的那样连续地变化。特别地，他假设能量会从零开始以正比于频率的等间距或阶跃增加，其中增加的比例常数正好是普朗克常数，所以，频率为v或角频率为w的量子能量为 那么振子的能量的允许值只会是0，。很容易看出，普朗克的观点至少在定性上讲是正确的。对于频率相当低的振动模式，能量间距比热能小得多，因此，经典的均分定理不受影响。另一方面，对于频率相当高的振动模式来说，能量间距比热能大得多，因此，这些振动模式不能参与能量分配过程。明确地说，它表明在温度为T时，频率为v的振动自由度的平均能量为。 由此可见，当时，它取经典值kT，而当时，它按指数关系减小。黑体辐射的频率在v和v+dv之间时，与它相对应的能量密度则
7、为， 这就是普朗克辐射定律，这个定律与实验非常一致，而且在历史上，它首先提供了十分精确地测定的方法。普朗克提出了能量量子化概念（即力学量存在不连续），十分成功地解决了黑体辐射的困难。5从上我们已经的知道普朗克能量量化的概念，下面举例说明宏观能量被普朗克能量量化后，能量量子从宏观角度来看意味着什么？例：一个质量为0.01千克的摆挂在一条长0.1米的线上，假定摆的振动幅度正好使得当它处在最高位置时，悬线同竖直方向所成的角度等于0.1弧度，摆的能量由于摩擦等效而逐渐减小，问所观察到的能量减小是连续的还是不连续的？单摆的振动频率v等于单摆的能量等于它的最大势能：单摆的能量是量子化的，因此，它的能量只能
8、够作不连续的跳跃式变化，每次改变的大小是而。能量间隔数约为1029个，设想用每秒可拍播1029张像的摄象机，则可拍到不连续，试将拍摄的录像放慢，按人眼可分辨的速度播放（每秒10帧）需（ 3.15107秒为一年，3.151015秒为一亿年）109万亿年（约1亿亿年）的时间才能播放完。以上我们仅仅从时间角度设想，如果设想从空间或能量角度来分辨会如何呢?即1033焦耳的能量和1029米的尺寸对人的感知意味着什么?结论：原则上讲任何系统的能量都是分立的（量子化的），微观世界，粒子的能量与能量的分立程度hv数量级相近，具有明显的不连续性。而宏观物体的能量与hv能量（能量量子）相比，远远大于hv(由于h非
9、常小)，能量的“量子”程度实在非常微小，因而没有能力把它同我们对连续的认知分开来。1.3. 微观世界粒子的特征量（原子物理基础）以原子中电子的特征量为例估算如下：“精细结构常数”（电磁作用常数），原子的电子能级即：数10eV数量级原子尺寸：玻尔半径：，一般原子的半径1速率：时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期，即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S，日光灯频率50次/S）角动量：结论：“看不清”像朵云“电子云”几率描述思考题：1、人类通过感观和设备可分辨“时间、能量、空间”的极限能力?2、设想如何观测具有上述特征量的微观粒子?1.4. “感知”微观世界的手段与量子力学的测不准原理
10、1设想实验：图1.1为研究小物体下落运动的实验仪器。当物体通过一个地点时使物体遮光，这样运动的状态就作为光电管的电流变化的时间都记录下来。因为光的速度同物体的速度相比较是非常大的，所以不用考虑信号传递时间就能明确这个物体的地点和时间的关系。l 可见光的光子动量：10-27kgm/s数量级l 下落物体1g速度10m/s：动量为10-2kgm/s，二者动量比较，光触及在物体上而产生的影响完全可以忽视。l 下落电子9.110-31Kg ,速度100m/s 动量为10-29kgm/s，图 11 图 12 质量非常小其动量和光的动量相当，则物体的运动则由于光的触及，就如图 11虚线表示。为了使物体受到的
11、影响小，是否可用动量小而波长长的电磁波呢？可是在这种情况下，虽然动量变小，但由于波长长而给确定物体的位置带来不准确性，如图 12，在长波情况下，由于波的衍射效应，物体不能阻止波的传播，因此不能起测量出位置的作用。如上所述，象电子那样微小粒子是怎样运动呢？要严谨地讨论这种运动情况，应该认为是限度的。这就是说，运动状态不受测量影响而能跟踪电子的位置是不可能的。上面的设想实验1中，使用了g 射线，但假设存在比电子还轻的粒子，那么利用它能否同时严格地决定电子位置和动量呢？对比电子轻的粒子，其波长，m小，若E不大，则l很大，就不能被确定位置，在决定粒子的位置上起不了作用，正象下大网（轻粒子）描小鱼（电子
12、）一样的结果。2设想实验：如图 13利用波长短的g 射线显微镜对电子位置进行测定。入射的g 射线的光子和电子碰撞，并通过透镜应该到达检测器，因为g 射线能通过OAP，也应该通过OBP，所时光子动量的x分量：动量宽度 (1-1)另一方面，据物理光学，显微镜的分辨率或者x位置的不确定性： (1-2)（1.1）（1.2）得： (1-3)图 13 由于h0，两个量的积变为零，这在原则上是不可能的，实际上，因为不确定性更大，所以可写为同时精确测量动量和位置受到一定限制 (1-4)注意：(1-3)式中不含g 射线的频率v，因为对位置来说，v高，Dx小，即更准确，但是，电子动量的不确定性变大，而二者的乘积不
13、变。另外，用g射线捕获电子时，假定只有Dx的不确定性，这意味着在g 射线捕获的时间t内，只有如下不确定性：，vx为g 射线碰撞电子前电子速度的分量。另一方面电子的能量为：，所以当Px只有DPx的变化时，则E的变化为：能量和在它观测所需要的时间t内可以有不确定性或互补关系。3海森堡测不准原理（同时测准Px和x有限制） （同时测准E和t有限制）不确定关系是海森伯于1927年给出的，因此常被称为海森伯不确定关系或不确定原理。它的根源是波粒二象性。（1）由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定量越小，则此方向上粒子位置的不确定量
14、越大。总之，这个不确定关系告诉我们，在表明或测量粒子的位置和动量时，它们的精度存在着一个终极的不可逾越的限制。（2）不确定关系不是由测量仪器或测量技术的测量精度造成，而是由于测量对微观粒子本身的扰动决定。在双缝干涉实验中，虽然电子在某时刻落在何处不能确定，但电子落入给定区域的概率是完全确定的。轨道的概念在经典力学中是以坐标和动量有同时确定值为前提的，因而轨道的概念不适用于微观粒子。思考：举一个宏观物理量“测不准”的例子1.5. 波的粒子性在大学物理中我们已经说明，经典粒子因呈现出波的性质而具有波粒二象性。现在我们简短地描述一些可以反过来证明电磁波具有粒子性质的实验，强化被我们习惯思维弱化的粒子性，来说明任何物质都具有波粒二象性。1. 康普顿效应康普顿效应中更明显地证实了电磁辐射的微粒性。当某种频率的X射线被静止的（基本上）自由的电子散射出来时，散射X射线的频率不是不变的，而是按一定的方式随散射角的增加而减小。把X射线当作能量为，动量为的相对论性的粒子，并把通常的能量和动量定恒定律应用于这种碰撞，就能准确地描述这个效应（参见大学物理）。2. 光电效应和光量子说u 光电效应：金属表面被光照射时放出电子的现象称为光电效应光电管原理。u 光量子说：频率为v的光是由能量为hv的一群微粒所构成（具有能量为hv的微粒子称为光子或光量子
