高考数学导航复习专题——函数专题

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1、课程标准 一、函数概念 1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 5学会运用函数图象理解和研究函数的性质,二、基本初等函数() 1指数函数 通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的

2、14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型,2对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函

3、数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1),三、函数的应用 1函数与方程 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法 2函数模型及其应用 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用,命题趋势 1函

4、数考查的重点是函数的概念、性质及其应用；考查的热点是函数模型的应用、函数的图象与性质、函数与其它章节知识(如数列、方程、不等式、解析几何等知识)的交汇在考查函数知识的同时，又考查运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力 (1)函数的概念与函数的定义域、值域、函数解析式一般不会单独命题近几年来多在应用问题中对函数解析式与定义域进行考查，要求考生概括题意建立数学模型，写出函数解析式，这种把实际问题转化为数学问题的能力是考查的重点方向,(2)函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性 新课标对

5、函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性 (3)函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式,2指数函数、对数函数是新课标考查的重要方面指数函数主要题型有：指数函数的图象与性质、幂值的大小比较、由指数函数复合而成的综合问题对数是常考常变的内容，主要题型是对数函数的图象性质、对数运算法则、对数函数定义域幂函数新课标要求较低，只要掌握幂函数的概念、图象与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数反函数新课标比原大纲要求有较大幅度降低，只要知道指数函数与对数函数互为反函数及定义域、图象的关系即可，不宜过分延伸因此命题会主要集

6、中在指数、对数的运算性质，指、对函数的图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点,3函数与方程、函数的应用主要考查 (1)零点与方程实数解的关系 (2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题 (3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题 (4)函数与解析几何知识的综合问题 (5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等,备考指南 1函数复习依据近几年高考试题的立意变化和新课标要求，应重视以下复习思路：深刻理解函数的概念、图象与性质，并能灵活运用这些知识去分析

7、、解决有关问题及时归纳、总结常用的数学思想、方法、解题规律，培养运用数学思想方法解决问题的能力针对函数实际应用题、探索性问题、代数推理问题以及与其它知识交汇的综合题，应加大训练力度，通过实战训练，达到培养数学能力的目的结合导数考查函数的单调性仍是命题的一个主要方向应重点训练结合具体的函数，在选择、填空题中灵活地考查函数的性质应予足够重视，应着重落实基本概念、原理在实际问题中的应用给出一个背景问题(或图象)，求出解析式，然后依据解析式讨论有关性质的问题应重点训练,2基本初等函数()的复习应狠抓基础知识的落实，重点掌握指数幂的运算法则，对数的定义、性质与运算法则及换底公式，指数函数的图象与性质，加

8、强指对函数单调性与比较大小，奇偶性与图象对称特征，图象过定点，单调性应用，对数函数定义域，互为反函数的两个函数图象、定义域、值域的关系及与二次函数、分式、指数复合的训练，加强客观题训练，难度不宜过大，适度进行综合训练 3函数的应用复习应深刻理解方程的根与函数零点的关系，掌握二分法求方程近似解的方法，进一步培养数形结合及运用函数、方程的知识解决实际问题的能力加强对实际问题的理解，掌握建立数学模型的基本方法注意归纳掌握常见实际问题的数学模型,重点难点 重点：映射与函数的概念 函数的定义域、值域及求法 分段函数 难点：映射定义 复合函数及分段函数,知识归纳 1函数 (1)传统定义：如果在某个变化过程

9、中有两个变量x、y，对于x在某个范围内的 的值，按照某个对应法则f，y都有 确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为yf(x) (2)近代定义：函数是由一个 到另一个 的映射 (3)函数的表示法有： ,每一个确定,惟一,非空数集,非空数集,解析法、列表法、图象法,理解函数概念还必须注意以下几点： 函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合 确定函数的映射是从定义域A到B上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象 两个函数只要定义域、对应法则分别相同，这两个函数就相同 函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分同一个对应法则，

10、由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同,函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线，也可以是一些离散的点，一些线段等 自变量为x时，f(a)的含义与f(x)的含义不同f(a)表示自变量xa时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量,2映射 (1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有 的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB. (2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象,任何,惟一,(3)已

11、知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围；已知fg(x)的定义域是a，b指的是xa，b求f(x)的定义域，是指在xa，b的条件下，求g(x)的值域 (4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 (5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (6)求定义域的一般步骤： 写出函数式有意义的不等式(组)； 解不等式(组)； 写出函数的定义域,4函数的值域 (1)函数值域的定义 在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值

12、的集合叫做函数的值域 (2)确定函数值域的原则 当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合 当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合 当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定,(3)基本初等函数的值域 ykxb(k0)的值域为R. yax(a0，且a1)的值域是(0，) ylogax(a0，且a1)的值域是R. ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为1,1，1，1，R.,(4)求函数值域的常见方法 直接法从自变量x的范围出发，通过观

13、察和代数运算推出yf(x)的取值范围； 配方法配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法,单调性法根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域 求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值； 数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域,5求函数的解析式一般有四种情况 根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式； 有时题中给出函数形式，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数

14、，可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a、b、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可； 换元法求解析式，已知fh(x)g(x)求f(x)的问题，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解；,误区警示 1映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射 2判断两个函数是否为同一个函数，紧扣函数的两个要素是解题关键只有定义域、对应法则相同的函数才是同一函数 3复合函数求定义域时，常因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x)的定义域与已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域混淆 4解题过程中忽视定义

15、域的限制作用致误 5忽视实际问题的实际意义的限制作用,6换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围 7求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用 如已知f(x)log3x x1,9，求函数yf(x2)f 2(x)的值域时，函数yf(x2)f 2(x)的定义域不再是x1,9而是x1,3 8判别式法求值域对端点要进行检验 9利用均值不等式时求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号,10熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数,一、定义法 用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征 二、求函数解析式常用的方法 1配凑法 当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式 2换元法 已知f(g(x)是关于x的函数，即fg(x)F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)t，由此能解出x(t)将x(t)代入fg(x)F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式注意，换元后要确定新元t的取值