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1、一. 方阵的特征值与特征向量,二. 相似矩阵及其性质,三. 矩阵可对角化的条件,四. 实对称矩阵的对角化,第四章 矩阵的特征值与特征向量,1. 特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量 ，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征值，,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,1.定义 2.求法 3.性质,（2）特征向量 是非零列向量,（4）一个特征向量只能属于一个特征值,（3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一,是方阵,一. 方阵的特征值与特征向量,问题：单位矩阵的特征值和特征向量？,或,或,是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。,2. 特征值与
2、特征向量的求法,称为矩阵 的特征方程。,求特征值、特征向量：,把得到的特征值 代入上 式，,即为所求特征向量。,求出 即为特征值;,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,解：,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,得基础解系,特征值 的重数 k 对应的线性无关的特征向量的个数,？,若 可逆，则 的特征值是,的特征值是,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,为x的多项式，则 的特征值为,3. 特征值和特征向量的性质,
3、的特征值是,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,性质3： 幂等矩阵的特征值只有0或1。,例 ：,例：设,解： （1）,设 为矩阵 的特征值，求 的特征值；,若 可逆，求 的特征值。,求： （1） 的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。,得,自由未知量:,得基础解系,取,存在,本题启示:,问题：矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？,2. 提供了一种求 的方法.,则,定理： 设 是方阵 的 个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果 各不相等，,则 线性无关。,即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为 为特征向量，,所以,线性无关。,推广,线性无关。,例,证,由题知,反证,同一特征值的特征向量的线性组合仍是这一特征值的特征向量,分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量,定义： 矩阵的主对角线元素之和，就称为矩阵的迹。,. 矩阵的迹,矩阵的迹的性质:,特征值与特征向量,3.相异特征值的特征向量线性无关,4.特征向量的线性组合是否是特征向量,1.特征值与特征向量的求法、性质,
