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1、一古典型随机试验（等可能概型),一般, 如果随机试验 E 具有：,(1) 有限性： 它的样本空间的元素只有有限个,则称随机试验E为古典型随机试验,也称等可能概型,第四节 古典概型（等可能概型）,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的，故没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,所以，称这类概率模型为古典概型.,示例：,若记 B=摸到红球,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”,静态,动态,当要求“摸到红球”的概率时，实际
2、上只要找出它在静态时相应的比例.,二古典概型中事件概率的计算公式,设E是古典随机试验，S是它的样本空间，,若事件A包含 k 个基本事件,即,则称,为事件 A 的概率。,注： 教材 P10 给出了它的推导过程。 排列组合是必备的基础知识。,概率的古典定义,定义：, 关于排列组合知识复习,一. 基本计数原理,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm 种方法 .,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步
3、骤有n2种方法,；,第m个步骤有n.m种方法,必须通过每一步骤，才算完成这件事。,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .同时它们也是计算古典概率的基础。,k = n 时称 全排列：,二. 排列、组合的几个简单公式,从n个不同元素取 k个 的不同排列总数为：,1、排列:,例如：n=4, k =3,第1次选取,第2次选取,第3次选取,示例 1,则选排列、全排列为：,从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,从n个不同元素取 k个（允许重复） 的不同排列总数为：,示例 2：,可重复 排列,从n
4、个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：,，称为组合系数。,你能证明吗？,常记作,?,2、组合:,排列与组合 之间的关系,组合系数 又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：,3、组合系数与二项式展开的关系,利用该公式，可得到许多有用的组合公式：,令 a=b=1,得:,令 a=-1, b=1:,由,有,比较两边 xk 的系数，可得：,运用二项式展开有：,4、n个不同元素分为k 组，各组元素数目 分别为 r1,r2,rk 的分法总数为：,n个元素,因为：,分组分配,例 1设有30件产品,其中有4件是次品,现从中任取3件 求：(1) 恰有 2 件次品的概率 (2) 至少
5、有一件次品的概率,解：,(1)设A：任取3件恰有两件是次品,恰有2件次品应从次品中取, 剩下的另一件正 品应从26件正品中取到. 故有：,无论取出的是否是次品,它总是从30件产品 中取3件,故它的样本空间总数是:,从而：,(2) 设 B: 任取3件至少有一件次品,次品至少有一件指的是1件，2件，3件,三种情况，故有：,从而:,例2. 有 十个数字, 现从中任取 6 个不同 的数,求： 能排成一个六位数是偶数的概率,由题意可知:它的样本空间元素是有限个,并且 每个基本事件发生的可能性也是相同的。,不论取出的 六个数是否能排成偶数,它总是从十个数中取出六个数, 故样本空间的总数应是:,设事件A：
6、“排成的六位数是偶数”,解:,(排列数),要排成偶数则第六位只能是 0, 2, 4, 6, 8；,要成为六位数, 则第一位不能是0, 第一位只能取1, 3, 5, 7, 9或 2, 4, 6, 8；,(1)若首位取 1, 3, 5, 7 ,9 则有:,(2)若首位数 2, 4, 6, 8 则有:,综合(1),(2)可得:,从而:,要排成无重复数字的六位偶数, 则首位与末位 有两种情况:,解：设A：电话号码由五个不同数字组成,=0.3024,允许重复的排列,问：,错在何处？,例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可 能是从0-9这十个数字中的任一个 求：电话号码由五个不同数字组成的概率.
7、,计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中 取5个的排列,则：,例 4. 盒中有6张面值相同的债券,其中有两张中奖债券, 现从中任取两次,每次取一张,考虑两种取法: (1). 有放回地取：第一次取出观察后放回盒中 混合均匀后再取第二次 (放回抽样) (2). 无放回地取：第一次取出后不放回盒中, 第 二次从剩余的债券中再取一张 (不放回抽样),求：分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖 的 债券的概率？,解：显然，本题属古典概型。,(1). 有放回地抽取：设A：取到的两张都是中奖券,第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是从 6 张中取一张，第二次再从盒中
8、取，仍是有 6 张券可供抽取，故有：,中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：,从而:,（2). 不放回地抽取：,从而:,在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” , 其它 条件不变则有:,“不放回地抽取两次,每次取一张” 相当于 “一 次抽取两张”.故在许多问题中如果不是有放回 地抽样,就统称为“任意取出”多少个。,注:,例5 设有N 件产品,其中有M 件次品,现从这N 件 中任取 n 件,求：其中恰有k 件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,令 B=恰有k件次品 则：P(B)=？,解：,把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并
9、且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,例6,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：,解:,设A：排列结果恰好拼成英文单词 S C I E N C E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为：,: 七个字母的排列总数为 7！,如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件 在1260 次试验中大约出现 1 次.,某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这 12次接待都是在周二和周四进行的。,问：是否可以推断接待时间是有规定的？,假设接待站的接待时间没有规定，
10、而各来访者在 一周的任一天去接待站是等可能的。,设 A：12次接待来访者都在周二和周四,一周共有7天，12次来访者均可在七天中任 一天都可去接待站，相当于从七天中要接 待12次且可以 重复日期，故有：,例7.,解：,从而,由“实际推断原理”：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。,可推断到：“假设接待站接待时间是没有规定” 这一说法是不正确的，因为千万分 之三的小概率事件竟然在假设条件 下发生了。,注：,12次接待来访者只能放在周二和周四两天之中, 故有：,故得出： 接待站 的接待时间是有规定的，而不 是每天都接待的。,有 r 个人，设每个人的生日是365天的任何一 天是等可能的，试
11、求事件“至少有两人同生日” 的概率.,为求P(A), 先求,则有:,例 8,用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日 的概率为0.476.,这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：,统计表 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.5
12、07 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,请看演示：,生日问题,例9 设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电 容，从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.,利用加法原理,所求概率为P(AB)：,甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张, 求甲或乙拿到4张A的概率. 1) 甲抽后不放回，乙再抽; 2)
13、 甲抽后将牌放回，乙再抽.,1)此时若A、B互斥,设 A=甲拿到4张A B=乙拿到4张A,所求为,计算P(A)和P(B) 时用古典概型,=P(A)+P(B),则：,例10,解：,2) 此时若A、B相容,设Ai =第i封信装入第i个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对地址,某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问：没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算P(A)不易，则可先来计算,解：,因为：,代入计算 的公式中：,应用加法公式,于是：,把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为：,而出现事件A的分法数为n! ,例12 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各
14、堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,故得:,解：,(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。,这是一个几何概型，所求概率是,设 分别表示两人达到的时间，则两人能会面的充要条件是,解,例,“等可能性”是一种假设，在实际应用中, 应该根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的. 在许多场合，由对称性和均衡性，一般就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,归 纳,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不 要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同
15、的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只,又例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋中 “至少有两只配成一双”（事件A）的概率 是多少？,正确的答案是：,请思考： 还有其它解法吗？,?,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：,（1）有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,（2）有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为 1/365. 求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率,（3）某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,你还可以举出其它例子，留作课下练习.,
