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1、线性代数,1,第十五周：,相似矩阵及对角化,线性代数,2,一、相似矩阵与相似变换的概念,线性代数,3,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,线性代数,4,证明,线性代数,5,推论 若 阶方阵A与对角阵,线性代数,6,三、利用相似变换将方阵对角化,线性代数,7,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,线性代数,8,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,线性代数,9,解之得基础解系,线性代数,10,求得基础解系,线性代数,11,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,线性代数,12
2、,解,线性代数,13,解之得基础解系,线性代数,14,所以 可对角化.,线性代数,15,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,线性代数,16,定理1 对称矩阵的特征值为实数.,四、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,线性代数,17,线性代数,18,证明,它们的重数依次为,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,线性代数,19,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,线性代数,20,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,2.,1.,线性代数,21,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,线性代数,22,解之得基础解系,解之得基础解系,线性代数,23,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,线性代数,24,线性代数,25,线性代数,26,线性代数,27,于是得正交阵,线性代数,28,谢谢大家！,
