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1、1.4 张量的代数性质,在分量表示法中，与分量指标相配的基矢量被省略了，但隐含如下约定：所讨论的同阶张量都具有相同的基，并且张量指标的正常排列顺序应和基矢量的顺序相同，否则就是转置张量。,例如：,一、隐含约定,对1，2指标的转置张量为：,而张量S的按其分量应记为：,故,(见：黄克智等张量分析第2版，清华大学出版社，p31),二、 二阶张量的分解,任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即：,反对称张量,对称张量,三、 高阶张量的对称和反对称,高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：,四、两个二阶张量点乘有下面性质,
2、证明：,1）,1）,2）,证明：,利用,即,2）,五、实对称方阵的本征值(特征值)与本征矢量（特征向量）,实对称方阵对应实对称二阶张量,在连续介质力学中，常出现下述形式的齐次代数方程,参见：匡震邦非线性连续介质力学基础和黄克智等张量分析,（可写成 ）,（可写成 ）,特征值,特征方程,对应三个根 的三组非零解 ，各自构成不同的矢量方向，称为特征矢量,1）坐标变换,x y z,x y z,六、坐标变换与二阶张量不变量,两个直角坐标系，基矢量分别为,两个坐标系坐标轴夹角余弦,基矢量间的变换,有9个分量，构成二阶张量,注意到,同理,张量记法,矩阵记法,是正交张量，,是归一化正交矩阵,坐标轴旋转,类似于矢量的坐标变换,二阶张量的坐标变换,2）二阶变量的不变量,由,由,七、各向同性张量,在所有正交变换下分量都相同的张量，称为各向同性张量,1.5 张量的微分与积分,一、微分运算 梯度,1）标量场的梯度,例如：笛卡尔直角坐标系下,2）矢量场的梯度,
