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1、2019年1月21日星期一,1,第八章 重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,2019年1月21日星期一,2,主 要 内 容,第一节 二重积分的概念与性质,第二节 二重积分的计算方法,2019年1月21日星期一,3,第一节 二重积分的概念与性质,第八章,（Conception and property of double integral）,一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,三、小结与思考练习,复习：一元定积分问题的实例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯
2、形面积,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019年1月21日星期一,7,一、二重积分的概念,解法: 类似定积分解决问题的思想:,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴
3、的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,2019年1月21日星期一,8,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,2019年1月21日星期一,9,4)“取极限”,令,2019年1月21日星期一,10,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2.
4、 平面薄片的质量,2019年1月21日星期一,11,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,2019年1月21日星期一,12,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,2019年1月21日星期一,13,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,定义,2019年1月21日星期一,14,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积
5、分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,2019年1月21日星期一,15,二重积分存在定理:,若函数,定理2,定理1,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,则 在D上可积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,2019年1月21日星期一,16,二、二重积分的性质,2019年1月21日星期一,17,2019年1月21日星期一,18,利用性质5,2019年1月21日星期一,19,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),2019年1月21日星期一,20,思考与练习,被积函数相同, 且非负,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2019年1月21日星期一,21,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,2019年1月21日星期一,22,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,在第一象限部分, 则有,补充：积分对称性,
