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1、测试信号分析与处理课程,第二章 连续时间信号分析,第一节 周期信号分析 第二节 非周期信号的频域分析 第三节 周期信号的傅里叶变换 第四节 采样信号分析,介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。,第一节 周期信号分析,如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由此分析，要解决什么样的关键问题？-信号分解。 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。,第一节 周期信号分析,一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在
2、各基函数中的分量； 一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是正交函数集 。 从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。 若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示信号时将没有误差。,第一节 周期信号分析,（一）用完备正交实变函数集来分解信号 函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是 例2-1 在 内， 与 是正交的。 两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。,第一节 周期信号分析,（二）用完备正交复变函数集来分解信号 复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是 例2-2 若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。 证明： 三角函数集和指
3、数函数集是应用最广的完备正交集。,第一节 周期信号分析,一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集 对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。 进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利 （Dirichlet）条件，即在周期 内，函数f(t) 1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。,第一节 周期信号分析,周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式 其中，,结论： 任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。 幅度谱 相位谱 周期信号幅度谱和相位
4、谱的特点,第一节 周期信号分析,例2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间 内的数学表达式为,第一节 周期信号分析,二、指数函数形式的傅里叶级数 在 内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。 式中,第一节 周期信号分析,例2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表 达式为,第一节 周期信号分析,三、 周期信号的功率谱 信号能量 能量有限信号 ： 平均功率： 功率有限信号：信号f(t)在时间（-,+）上的平 均功率 ,第一节 周期信号分析,周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系 这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波
5、分量有效值的平方和。 与 的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。,第一节 周期信号分析,四、周期信号频谱的基本性质 线性 延时性 频移特性,第二节 非周期信号的频域分析,一、信号的卷积 任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量之和。 卷积积分,结论：信号的时域分解表示为一系列矩形窄脉冲分量之和。,任意输入信号作用与线性系统，输出等于输入与单位冲激响应的卷积积分，卷积积分计算可以利用解析法、图解法及性质求解。,第二节 非周期信号的频域分析,卷积积分的图解法 变量置换、折叠、移位,第二节 非周期信号的频域分析,第二节 非周期信号的频域分析,相乘、积分,第二节 非周
6、期信号的频域分析,二、 非周期信号的傅里叶变换 频谱函数 原函数,第二节 非周期信号的频域分析,傅立叶正变换 傅立叶反变换,非周期傅立叶变换的物理意义？,第二节 非周期信号的频域分析,三、典型非周期函数的傅里叶变换 单位冲激函数的傅里叶变换 单边指数函数的傅里叶变换 式中，,第二节 非周期信号的频域分析,单位阶跃函数的傅里叶变换 由于 时，u(t)不符合绝对可积条件，即不 存在 ，不能直接进行傅里叶变换。为了 解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近 函数u(t)。,第二节 非周期信号的频域分析,第二节 非周期信号的频域分析,复指数函数的傅里叶变换 该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激
7、函数的傅里叶变换对 。,第二节 非周期信号的频域分析,四、傅里叶变换的性质,1. 线性(Linear Property),若,，,则对于任意常数a1和a2，有,证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t),= a1 X1() + a2 X2() ,2. 对偶性(Symmetrical Property),若 x (t) X() 则,证明:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, X(t) 2x () end,X( t ) 2x (),3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property),若 x (t) X() 则,其中 “a”
8、 为不等于零的实常数。,证明：,F x (a t ) =,For a 0,F x (a t ) ,for a 0,F x (a t ) ,That is ,如果 a = -1,有,x (- t ) X( -),尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。,例如,若 x (t) X() 则,其中“t0” 为实常数。,证明： F x (t t0 ) ,4. 时移性质(Timeshifting Property),时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。,若 x (t) X() 则,证明：,其中 “0” 为实常数。,F e j0
9、t x(t),= X(-0) end,5. 频移性质(Frequency Shifting Property),频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上 右移 单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以 。,例1,x(t) = ej3t X() = ?,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3),例2,x(t) = cos0t X() = ?,Ans:,X() = (+0)+ (-0),例3,Given that x(t) X(),The modulated signal x(t) cos0t ?,Ans:,6. 时域微分(Differentiation in time domain)
10、,证明：,两边对t求导，得,所以,x(t)= 1/t2 ?,例1,Ans:,例 2,Determine x (t) X (),Ans:,x ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),X2()= F x”(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,X () =,7. 卷积定理(Convolution Property),时域卷积（Convolution in time domain）：,If x1(t) X1()， x2(t) X2() Then x1(t)*x2(t) X1()X2(),频域卷积（Convolution in frequen
11、cy domain）：,If x1(t) X1()， x2(t) X2(),Then x1(t) x2(t) X1()*X2(),证明：,F x1(t)*x2(t) =,利用时移性质，,所以,F x1(t)*x2(t) =,= X1()X2(),根据时域卷积定理，有,其实，y(t) 是脉宽为2、脉高为的三角脉冲。,例 1,Ans:,例 2,Ans:,利用对偶性，,例3,调制,解调,第三节 周期信号的傅立叶变换,周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。 傅立叶级数展开式 式中， 两边傅立叶变换,（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串
12、。,特点：,（2）冲激串的频率间隔为1=2/T ，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为Fn的2倍。,Fn易求时,F0(n1)易求时,第三节 周期信号的傅立叶变换,周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。,例2-5：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,解：,冲激周期函数的傅里叶系数,周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。,周期信号傅里叶级数的系数,第四节 采样信号分析,一、连续时间信号的采样过程,第四节
13、 采样信号分析,连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱 的 倍，并 从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率 重复一次。,第四节 采样信号分析,二、时域采样定理（香农采样定理） “频率混迭”现象 香农采样定理 要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求： 连续时间信号必须是带限信号； 采样器的采样频率必须满足 实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍10倍。,第四节 采样信号分析,三、采样信号的恢复 低通滤波器特性 采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。 再由 恢复的连续时间信号,第四节 采样信号分析,四、 采样信号恢复的内插公式,第四节 采样信号分析,采样内插公式 特点：在采样点上，其函数值为1，而在其他采样点上函数值为零。 用内插公式将采样信号恢复为连续时间信号虽然准确，但是却难以实现，因为在各点采样间的连续信号的值要靠无穷项求和得到。,第四节 采样信号分析,实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来的连续时间信号，这就是“零阶保持法”和“一阶保持法” 。,
