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1、机械工程控制基础,引言,为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的分析方法进行分析研究。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率分析法。,时域分析就是对一个特定的输入信号，通过拉氏 变换，求取系统的输出响应。由于系统的输出量 一般是时间t的函数，故称这种响应为时域响应。,时间响应及其组成,1、时间响应,定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。,2、时域分析的目的,在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况
2、，以分析和研究系统的控制性能。,一、典型输入信号,1、定义:,一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。,优点：直观、简便,2、作用:,在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：,就能求出系统对任何输入的响应。,3、常用的典型输入信号,1(t)在t=0时不
3、确定。 对于幅值为R的阶跃函数可表示为： f(t)=R1(t),单位脉冲函数可以看成单位阶跃函数的导数：,反过来，单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数：,能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；,4、典型输入信号的选择原则,如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。,注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。,二、MATLAB/Simulink 在时域分析中的应用,时域分析，尤其是高阶系统的时域分析，其困难主要表现在系统极点的获取上，以及在已知响应表达式的基础上，如何绘制响应波形和求取性能指标等一
4、系列问题上，这些均涉及大量的数值计算MATLAB/Simulink的仿真平台为此提供了强有力的工具。,1、时域分析中MATLAB函数的应用,控制系统常用的输入函数为阶跃函数 和脉冲函数（即冲激函数）。,step()函数的用法,如果对具体的响应值不感兴趣， 而只想绘制系统的阶跃响应曲线， 则可采用以下格式进行函数调用：,impulse（）函数的用法,2、MATLAB在时域分析中的应用实例,MATLAB程序代码如下： num=1; den=1 0.4 1; sys=tf(num,den); subplot(121) step(sys) ylabel(x_o(t) Grid on subplot(1
5、22) impulse(sys) ylabel(x_o(t) Grid on,xlabel(字符串)， ylabel(字符串)： 设置x，y坐标轴的名称。 输入特殊的文字需要用 反斜杠（）开头。,（P37） subplot(m,n,k)： 分割图形显示窗口， m表示上下分割个数， n表示左右分割个数， k表示子图编号。,绘制阶跃响应曲线,绘制脉冲响应曲线,运行结果如图45所示。,三、一阶系统的时域分析,一阶系统（惯性环节）,极点（特征根）：-1/T,1、一阶系统的单位阶跃响应,因为单位阶跃函数的拉氏变换,则系统的输出为,执行上述程序得 xo = 1-exp(-t/T),一阶系统的单位阶跃响应曲
6、线,hold on a=0:0.2:10 xo=1-exp(-a); plot(a,xo,k) a0=0 10 y0=1-exp(-1) 1-exp(-1) y1=0 1 x1=0 1 plot(a0,y0,k,x1,y1,k) xlabel(t/T) ylabel(x_o(t) grid on gtext(x_0(1)=0.632) hold off,(P34)hold on：把当前图形保持在屏幕上不变，同时允许在这个坐标内绘制另外一个图形。 hold off：使新图覆盖旧图。,(p34)plot(x1,y1,option1,x2,y2,option2,.)： x1，y1给出的数据分别为x，
7、y轴坐标值， option1为选项参数，以逐点连折线的方式 绘制1个二维图形；同时类似地绘制第二个 二维图形。这是plot命令的完全格式，在实 际应用中可以根据需要进行简化。比如plot(x,y)；plot(x,y,option)，选项参数 option定义了图形曲线的颜色、线形及标示 符号，它由一对单引号括起来。,Place text with mouse,运行程序后得到曲线如图46所示。,图46 一阶系统的单位阶跃响应曲线,一阶系统单位阶跃响应的特点,响应分为两部分,瞬态响应：,表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程）,稳态响应：1,表示t时，系统的输出状态,xo(0) =
8、 0，t0时 xo(t) 呈指数增大，无振 荡。 xo() = 1，稳态误差为零；,xo(T ) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T， 系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而 可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；,时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% 98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。,2、一阶系统的单位斜坡响应,因为单位斜坡函数的拉氏变换,则系统的输出为,执行上述程序得 xo = -T+t+T*exp(-t/T),一阶系统的单位斜坡响应曲线,hold on T=0.5 t=0:0.1:2
9、 xo=t-T*(1-exp(-t/T) plot(t,xo,k,t,t, b) x0=1 1 y0=0 2 plot(x0,y0, r) xlabel(t) ylabel(x_o(t) disp(请输入交点：) x1,y1=ginput(1) x2,y2=ginput(1),Graphical input from mouse,abs(y2-y1) gtext(x_o(t),fontsize,14) gtext(x_i(t),fontsize,14) gtext(t=1,fontsize,14) gtext(leftarrow交点1,fontsize,14) gtext(交点2rightar
10、row,fontsize,14) grid on hold off,Place text with mouse,运行程序得到响应曲线如图47所示,由输入输出信号与直线t=1 的交点图解求出结果： ans = 0.4269,在程序中设置时间常数T=0.5，计算结果基本正确,图47 一阶系统的斜坡响应,一阶系统单位斜坡响应的特点,瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T；,经过足够长的时间(稳态时，如t 4T )，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T；,系统响应误差为：,3、一阶系统的单位脉冲响应,故,对上式在MATLAB中求反拉氏变换的程序代码为
11、syms F s t T F=1/ (T*s+1) xo=ilaplace(F,s,t) 运行程序得： xo = exp(-t/T)/T,也就是系统的脉冲响应为,（415）,根据式（415）编写MATLAB程序代码如下：,hold on T=0.5 t=0:0.1:2 xo=exp(-t/T)/T plot(t,xo,k) grid on x0=T T y0=0 1/T x1=T 0 y1=exp(-1)/T exp(-1)/T X2=0 T Y2=1/T 0 plot(x0,y0,b,x1,y1,r,X2,Y2,g) xlabel(t) ylabel(x_o(t) gtext(x_o(t)=
12、exp(-t/T)/T,fontsize,14) hold off,运行上述程序，得系统的响应曲线如图48所示。,图48 一阶系统的脉冲响应,一阶系统单位脉冲响应的特点,瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0；,一阶系统对脉冲扰动信号有自动调节能力，经过一定时间后，可使脉冲扰动对系统影响衰减到允许误差内。,xo(0)=1/T, xo( )=0；,4、小结,系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。,注意到：,对一阶系统：,即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。,同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对
13、该输入信号响应的积分,基于上述的性质，对线性定常系统只需讨论一种典型信号的响应，就可推知于其它。,因此在以后对二阶和高阶系统的讨论中， 主要研究系统的阶跃响应,一阶系统的性能指标：调节时间(settling time) Ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-)所需的时间(为容许误差)。,=2%,ts=4T, =5%,ts=3T，调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。,作业,4-3（1） 4-5（1）,一般控制系统均系高阶系统，但在一定准确度 条件下，可忽略某些次要因素近似地用一个二阶 系统来表示。因此研究二阶系统有较大实际意义。 例如描述
14、力反馈型电液伺服阀的微分方程一般为 四、五阶高次方程，但在实际中，电液控制系统按 二阶系统来分析已足够准确了。 二阶系统实例很多，如前述的RCL电网络，带有惯 性载荷的液压助力器，质量-弹簧-阻尼机械系统等等。,四、二阶系统的时域分析,1、二阶系统,其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。,二阶系统的特征方程：,特征根（极点）：,(4-17),可见，随着阻尼比取值不同，特征方程根的情况不同,两特征根为共轭复数：,01 欠阻尼二阶系统（振荡环节）：,(4-18),极点是一对位于复数s平面的左半面内的共轭复数极点，如图49(a)所示。这时，系统
15、称为欠阻尼系统。,因此,（419）,(420),0 无阻尼二阶系统：,两特征根为共轭纯虚根,如图49（b）所示， 系统具有一对共轭虚极点： 这时系统称为无阻尼系统。,1 临界阻尼二阶系统：,特征根有两个相等的负实根,如图49（c）所示， 系统具有两个相等的 负实数极点 这时称为临界阻尼系统。, 1 过阻尼二阶系统：,特征根有两个不相等的负实根,如图410（d）所示， 系统具有两个不相等 的负实数极点 这时称为过阻尼系统, 0 负阻尼二阶系统：,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定，这时称为负阻尼系统 。,特征根为实部大于零的根,前四种情况，极点都位于复平面左半部， 系统响应是稳定的。,2、二阶
16、系统的单位脉冲响应,01：系统称为欠阻尼系统，式（424）拉普拉斯反变换,（424）,（425）, = 0：系统称为无阻尼系统，式（424）拉普拉斯反变换,（426）, = 1：系统称为临界阻尼系统，式（424）拉普拉斯反变换,（427）, 1：系统称为过阻尼系统，式（424）拉普拉斯反变换,（428）,% unite impulse t=0:0.1:12; num=1; den=zeros(6,3); zeta=0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1 ; y=zeros(length(t),4); for i=1:6 den(i,:)=1 2*zeta(i) 1; y(:,i),x,t=impu
