《概率论与数理统计ppt课件第四章数学期望与方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计ppt课件第四章数学期望与方差（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,前面介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间相互关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的,协方差和相关系数,2,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量， 除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系,3,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,4,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺
2、点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念 .,5,若Var (X ) 0, Var (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，,6, 利用函数的期望或方差计算协方差,7,若二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为,且Cov(X,Y)存在, 则,8,(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x , y ), 且Cov (X, Y)存在，则,9,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y 独立， 则 Cov(X,Y)= 0 .,证明：Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)
3、E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) ,10,若 X,Y 相互独立, 则上式化为,随机变量和的方差与协方差的关系,11,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,12,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为,13,相关系数的性质,证明：,令,14,15,16,17,说明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系,18,X , Y 不相关,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,若 X , Y 服从二维正态分布，,X ,
4、 Y 相互独立,X , Y 不相关,19,求 cov (X ,Y ), XY,解：,20,21,例2.设U(0,2), X =cos , Y =cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解:,22,23,例3 设(X, Y)服从二维正态分布,求 (1) X和Y的相关系数,(2) X和Y不相关 =0,24,解：(X, Y)的概率密度函数为,(X, Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为,25,由于,26,27,28,X，Y独立 =0X，Y不相关。,29,例4.设 ( X ,Y ) N ( 1,1;4,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解:,30,例5：设XN(0,4), YP(
5、2), XY =1/2, 求 E(X+Y)2 .,解:,E(X+Y)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y),把条件代入即得 E(X+Y)2 =,由题设知: EX=0, Var(X)=4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而,31,设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。 mk = E(Xk ) 称为X的k阶原点矩， k = E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩， mkl = E(X k Y l ) 称为X和Y的(k , l )阶混合原点矩， kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩. 显然数学期望为1阶原点矩, 方差为2阶中心矩, 而协方差为(1,1 )阶混合中心矩.,32,例6.设X服从N(0,1)分布，求 E(X3) , E(X4)。,解：X的密度函数为：,注：此例是128页4.17的特例。,33,作业:,128页: 4.12; 4.26; 4.28。,
