《数学：1.1.1《算法的概念》课件（7）（新人教b版必修3）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学：1.1.1《算法的概念》课件（7）（新人教b版必修3）（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.1算法的概念,算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。,我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次函数图象的画法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此， 算法其实是重要的数学对象。,一、算法的概念,算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步
2、骤称为算法。,广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。 在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。,例1 “一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？”,解：算术方法：如果没有小兔，那么小鸡应为17只，总的腿数应为217=34条，但现在有48条腿，造成腿的数目不够是由于小兔的数目为0，每有一只小兔便会增加两条腿，故应有(48172) 2=7只小兔。相应的，小鸡有10只。,代数
3、方法：设有x只小鸡，y只小兔. 则,将第一个方程的两边同乘以2加到第二个方程中去，得到,解第二个方程得y=7.,把y代入到第一个方程得x=10.,思考1 教材中例1是著名的“鸡兔同笼”问题，其中第一种解法是算术方法，教材中对它的评价是“简单直观，却包含着深刻的算法思想”，那么它是如何体现算法的思想呢？,S1 假设没有小兔，则小鸡应为n只； S2 计算总腿数为2n只； S3 计算实际总腿数与假设总腿数的差值为m2n；,S4 计算小兔只数为 ;,S5 小鸡的只数为n .,思考2 教材中例1的第二种解法是列方程组的方法，它是否也是一种算法呢？ 探究：是的，其算法步骤为：,S1 设未知数； S2 根据
4、题意列方程组； S3 解方程组； S4 还原实际问题，得到实际问题的答案。,在实际中，很多问题可以归结为求解二元一次方程组，下面我们用消元法来解一般的二元一次方程组,S1 假定a110，a11a21得,S2 如果a11a22a12a210，则执行下步； 否则执行S6,S3 两边同除以a11a22a12a210得,S4 代入.得,S5 输出结果x1，x2，,S6 若a11b2a21b10. 则执行下一步；否则执行S8,S7 输出“方程组无解”.,S8 输出“方程组有无穷多个解”,以上解二元一次方程组的方法，叫做高斯消去法,二、算法的特点,不论在哪一种算法中，它们都是经有限次步骤完成的，因而它们体
5、现了算法的有穷性。,在算法中，每一步都能明确地执行，且有确定的结果，因此具有确定性。,在所有算法中，每一步操作都是可以执行的，也就是具有可行性。,为了便于计算机运算，它们必须先输入已知数据，而计算的目的分别是解方程组和求最大值等，因此必须输出结果，也就是必须有输入和输出。,算法解决的都是一类问题（分别是解决求方程组的解和确定一个有理整数序列中的最大值问题），因此具有普适性。,体验 ：写出解方程x22x3=0的一个算法.,配方法： S1 移项，得x22x=3 S2 式两边同加1并配方得 (x1)2=4 S3 式两边开方，得x1=2 S4 解式得x=3或x=1,因式分解法： S1 将方程左边因式分
6、解得(x3)(x+1)=0 S2 由得x3=0或x+1=0 S3 解得x=3或x1,公式法： S1 计算方程的判别式，判断其符号 =(2)24(3)0； S2 将a=1，b=2，c=3代入求根公式， 得x=3或x=1,例2 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。,解：算法如下： S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”; S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数； S3 如果序列中还有其他整数，重复S2; S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。,如果让你去找，你可能不会这样做，可能认为，
7、这样太机械、太枯燥。不要忘了，我们写的是算法。算法要求按部就班地做，每一步都有唯一的结果，又要求写出的算法对任意整数序列都适用，总能得到结果。所以上面写的，符合算法的要求。,下面我们用数学语言，写出对任意3个整数a，b，c求出最大值的算法。,S1 max=a S2 如果bmax, 则max=b. S3 如果Cmax, 则max=c. S4 max就是a, b, c中的最大值。,例3 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。,解：算法1： S1 计算1+2得到3； S2 将第一步中的运算结果3与3相加得到6 S3 将第二步中的运算结果6与4相加得到10 S4 将第三步中的运算结果10与5相加得到
8、15 S5 将第四步中的运算结果15与6相加得到21,算法2： S1：取n=6； S2：计算 S3：输出运算结果。,算法3： S1 将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=37； S2 计算37； S3 输出运算结果。,例4. 求1357911的值，写出其算法。,算法1； 第一步，先求13，得到结果3； 第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945； 第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。,算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。 S1 使P=1; S2 使i=3; S3 使P=Pi；
9、 S4 使i=i+2； S5 若i11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。,由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句可以在很短的时间内完成。对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。,例6. 利用二分法求函数y=f(x) (x在定义区间D) 上的一个变号零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数 ，即使|xx0| ，写出它的一个算法.,S1 在D内取一个闭区间a，b，使f(a)与f(b)异号，即f(a)f(b)0； S2 令x0= ，计算f(x0)；,S3 若f(x0)=0，则x0就是y=f(x)的零点；若f(x0)与f(a)异号，则a=a，b=x0，否则a=x0，b=b
10、； S4 判断|ab|是否成立，若成立，则区间a，b内任意实数都是x0的近似值； 否则，返回S2，直到不等式 |ab|成立为止。 S5 输出x0.,例7. 设计算法解决下面的问题：已知点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程为ax+by+c=0 (ab0)，求点P到直线l的距离.,算法一： S1 求出直线l的斜率为k， ；,S2 求出与l垂直的直线的斜率k， ；,S3 求出过点P且与直线l垂直的直线l方程，直线l的方程为,S4 求出直线l和l的交点M的坐标；把l和l联立，得方程组,由此可以得到点M的坐标为,S5 把点M的横坐标和纵坐标分别赋值给变量x1，y1；,S6 把点(x1，y1)代入两点
11、间距离公式，计算求得d的值；,算法二： S1 计算 的值 S2 计算z0=|ax0+by0+c|的值. S3 计算 得所求的距离.,例8 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？,算法一： S1 任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行S2； S2 取下右边的银元放在一边，然后把剩余的7枚银元依次在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元。,算法二： S1 任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行S2； S2 从余下的7枚银元中再
12、任取2枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行S3；,S3 从余下的5枚银元中再任取2枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行S4； S4 从余下的3枚银元中再任取2枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则最后剩下的还未称的1枚银元就是假银元。,算法三： S1 任取4枚银元分别放在天平的两边，各2枚，如果天平左右不平衡，则轻的一边中含有假银元，并进行S2；如果天平平衡，则进行S3； S2 将轻的一边的两枚银元分别放在天平的两边，则轻的一边的那枚银元就是假银元，称量结束；
13、,S3 从余下的5枚银元中再任取4枚分别放在天平的两边，各2枚，如果天平左右不平衡，则轻的一边就含有假银元，并转向S2；如果天平平衡，则最后剩下的还未称的1枚银元就是假银元，称量结束。,算法四： S1 把银元分成3组，每组3枚； S2 先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里； S3 取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元.,1下面的四种叙述不能称为算法的是（ ） （A）广播的广播操图解 （B）歌曲的歌谱 （C）做饭用米 （
14、D）做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤,练习题,C,2下列关于算法的说法正确的是（ ） （A）某算法可以无止境地运算下去 （B）一个问题的算法步骤可以是可逆的 （C）完成一件事情的算法有且只有一种 （D）设计算法要本着简单、方便、可操作的原则,D,3下列关于算法的说法中，正确的是（ ）. A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止,C,4下列运算中不属于我们所讨论算法范畴的是（ ）. A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取3张扑克牌抽到24点的可能性 C. 已知坐标平面内
15、的两点求直线的方程 D. 加减乘除运算法则,B,5下列语句表达中是算法的有（ ）. 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐飞机抵达； 利用公式 S = ah2 计算底为1高为2的三角形的面积； x2x +4； 求M(1，2)与N(3，5)两点连线的方程可先求MN的斜率再利用点斜式方程求得 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个,C,6写出求123100的一个算法.可以运用公式123n 直接计算. 第一步 ； 第二步 ； 第三步 输出运算结果.,取n100,计算,7已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为： 第一步 取A89，B96，C99; 第二步 ； 第三步 ； 第四步 输出D，E.,计算总分DA+B+C,计算平均成绩E,
