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1、12011 年全国高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）1、双曲线 的左、右准线 l1、l 2 将线段 F1F2 三等分（其中 、 分别为双曲线的左、12byax 12F右焦点） ，则该双曲线的离心率 等于（ ） eA、 B、 C、 D、263233解：由题意得 ，解得 故答案选 Bca2e2、已知三次函数 ， ), dcxbxf23)( Rcba,(命题 ： 是 上的单调函数；pyR命题 ： 的图像与 轴恰有一个交点q)(xf则 是 的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件解：选 A3
2、、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为 ，则随机变量 的数学期望 的值E为（ ）A、 B、 C、 D、1319432解： , , 91273)(P,27)0(P947)(P于是 . 故答案选 1E4、函数 的最大值为（ ）xxf3245)(A、 B、3 C、 D、 3 3解：法一： 的定义域为 ，()f 82由 ，解得 03245324521)( xxxf 423x因为 ， ， ，于是 3f)(f)8(f )()(maff故答案选 C法二： 的定义域为 ，()fx5x12)85)(31)83122
3、 x当且仅当 ，即 时， 取到最大值 故答案选 Cxx4f35、如图，边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的 面成 60角，M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点，且 ，FNAM则线段 MN 的长的取值范围是A、 B、 C、 D、 ,1,2,3,2解：过点 M 作 MH/BC 交 AB 于 H，则 ，AB又 AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，FNBNHAB ，MH AB，MHN=60设 AH=x(0x2)，则 MH=x， ，x2 22()()cos60Nx2364x1)(32 选答案选 B1M6、设数列 为等差数列，数列 满足： ， ， ，nanb1a32ab65
4、4ab若 ，则数列 的公差 为（ ）2lim3bnndA、 B、1 C、 2 D、4解： nnnaab2)1(2)1(12)( 2)1(12)(nna1dd 2d于是 ，解得 故答案选 D)(2limli3 nanb 4HFABDCEMNFABDCEMN3二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7、已知实数 满足 ，则 的取值范围是 x6|2|1| xx解：因为 ，|)()(|5|2| 等号成立当且仅当 ，即 故答案填 0)(x251x25,18、设平面内的两个非零向量 与 相互垂直，且 ，则使得向量 与 互相垂ab|bbmab)1(直的所有实数 之和为 m解：由于 =
5、 ，)1()(0m 22)1(a )(|即 =0，22|a所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 之和为 1故答案填 19、记实数等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 nnS70,310S40解：记 ， ， ，10Sb102230b4b设 为 的公比，则 构成以 为公比的等比数列，qna42,10qr于是 )()(7 2213130 r即 ，解得 或 （舍去） ，62rr故 故答案填 150.50)(3240S10、设 为实数，定义 为不小于 的最小整数，例如 ， 关于实数 的方xxx43x程 的全部实根之和等于 213解：设 ，则 ， ，于是原方程等价于Zkx412kx43213kx，即 ，从
6、而 ，即 142k375或相应的 为 于是所有实根之和为 故答案填 x47,94411、已知 ，其中 为整数，则 3)31(nnbanba, nbalim解：由条件 知 ，nn)1(n4于是 ，)31()(321,)31()(21 nnnnn ba 故 nnnnb)1()3(limli )31(limn故答案填 312、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且 SA=SB=SC=AB=2,设S、A 、 B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离为 解：如图，因为 SA=SB=SC，所以 S 在平面 ABC 上的射影是ABC 的外心，即 AB 的中点 H，同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是ABC 的外心 H，即在等边SAB 中，求 OH 的长，其中 OA=OB=OS显然， 故答案填 3231S3三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）13、已知 ，若函数 的最大值为 ，求 的最小值0mmxxf10)( )(g)(m解：令 ，则 ， （5 分）xt1t2 ，410)2(02mttmy 当 时， 有最大值 ，即 （10 分）ty0)(g ， （15 分）1042410)(g等号当且仅当 时成立，m当 时， 有最小值 10 （20 分）)(g14、已知函数 在 有最大值 5，444 )cos
