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1、第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积（铜鼓中学数学教研组）一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、课时安排：1课时四、教学过程（一）练习1若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ） A6B4C3D22设，则dx等于（ C ） ABCD不存在 3求函数的最小值解： 当a = 1时f (a)有最小值14求定分dx 5怎样用定积分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？ 6 你能说说定积
2、分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负。（二）、新课探析例1讲解教材例题例2求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,x轴所围成图形的面积。练习：1如右图，阴影部分面积为（ B ） Adx Bdx Cdx Ddx2求抛物线y = x2 + 4x 3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。2、几种常见的曲边
3、梯形面积的计算方法：（1）型区域：由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1）；由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2）；由两条曲线与直线yabxyabxyabx图（1） 图（2） 图（3）所围成的曲边梯形的面积：（如图（3）；（2）型区域：由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4）；由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5）； 由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，然后利用求出（如图（6）；yabxyabxyabx图（4） 图（5） 图（6）3、求平面曲线的弧长：设曲
4、线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为.（四）、作业：1、计算下列定积分。（1） （2）.解：(1) = += (2) 原式=12、求由曲线与，所围成的平面图形的面积(画出图形)。解：五、教后反思：第八课时 定积分的简单应用（三）3.2简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点
5、；数学模型的建立及被积函数的确定。四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析问题：函数，的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积 。 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。 Y分割近似代替(以直代曲)求和取极限（逼近） 学生阅读课本P89页分析，教师引导。解：圆锥体的体积为 O 1 X Y O X变式练习1、求曲线，直线， 与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。答案：；例2、如图，是常见的冰激凌的形
6、状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。 分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：，代入求得：抛物线方程为：（）设直线AB的方程为：，代入求得：直线AB的方程为：所求“冰激凌”的体积为：变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小。 （图二） （图一）（精确到） 答案： 归纳总结：求旋转体的体积和侧面积由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为.求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1先求出的表达式；2代入公式，即可求旋转体体积的值。（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1先求出的表达式；2代入公式，即可求旋转体体积的值。（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题4-3中6、7五、教后反思
