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1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第二章 矩阵,第三节 分块矩阵,回 顾,行列式的乘法定理 定理 2.1 假设 A,B都是n阶方阵， 则 |AB| = |A| |B|,1. 定义2.6: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得,AB = BA = E,则称A可逆(invertible), 并称B为A的,逆矩阵(inverse matrix). A的逆矩阵记为A1.,2. 逆矩阵的唯一性,3. 设A是n阶方阵。则 (1)A可逆的充分必要条件是|A| 0.,(2)当|A| 0且n 2时, 有,可逆矩阵,定义2.7. 设A = aijnn为方阵(n 2), 元素aij
2、 的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,可逆矩阵的等价定义：假设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B, 使得 AB=E (或者BA=E), 则称A是可逆的， B是A的逆矩阵。,回顾结束,第二章 矩阵,2.2 逆矩阵,二. 逆矩阵的运算性质,设A, B为同阶可逆方阵, 数k 0. 则,(1) (A1)1 = A；,(2) (AT)1 = (A1)T.,(3) (kA)1 = k1A1；,(4) AB可逆A和B可逆;当AB可逆时， (AB)1 = B1A1.,例. 设A与EA都可逆, G = (EA)1E, 求证G也 可逆, 并求G1.,证明: G = (EA)1 (EA)1(EA
3、),= (EA)1(E (EA) = (EA)1A,G1 = A1(EA) = A1 E.,第二章 矩阵,2.2逆矩阵,可以表示为Ax = b.,则线性方程组,三. 应用,下面讨论A为n阶方阵的情形.,第二章 矩阵,2.2 逆矩阵,Cramer法则. 若系数行列式D=|A|0 (等价地, A可逆), 则线性方程组Ax = b有唯一的解 x=A1b .,比较第一章的结果,思考：更一般地， 如果n阶矩阵A是可逆阵， B是nt 矩阵， 则矩阵方程 AX=B 有唯一解吗？ 或者当C是sn 矩阵，矩阵方程 YA=C 有唯一解吗？,X = A1B,Y = CA1,参见教材63页的例2.11.,第二章 矩阵
4、,2.3 分块矩阵,一. 基本概念,2.3 分块矩阵,1 0 0 1 2 0 1 0 4 5 0 0 1 7 6 3 2 1 0 0 6 5 4 0 0,分块矩阵,二. 基本运算,分块加法,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,2. 分块数乘,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,设矩阵A =,A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr,3. 分块转置,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,3. 分块乘法,设A为ml矩阵, B为l n矩阵, 将它们分块如下,其中Ai1, Ai2, , Aiq的列数分别与B1j, B2j, , Bqj的 行数相等.,(i = 1, 2, , p; j
5、= 1, 2, , r.),第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,k1 k2 kq,k1 k2 kq,求AB.,解:,于是AB =,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,二. 常用的分块法,1. 将给定矩阵分为2 2的分块矩阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵), 其中A1, A2, , As都是方阵.,2. 分块对角矩阵,例如,.,若 A1 , A2, ，As都可逆， 则 A 是否可逆？,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,A = A1, A2, , An.,3.,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,1 = a11, a12, , a1n,4.,2
6、= a21, a22, , a2n,m = am1, am2, , amn,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例 假设 A,B分别是sn和nt矩阵。利用下列分法写出乘积AB。 (1)将A的每一行视作一块， 将B视作一块； (2)将A的每个元素视作一块，将B的每一行视作一块； (3)将A视作一块， 将B的每一列视作一块； (4)将A的每一列视作一块，将B的每个元素视作一块；,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例 假设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若 A2x + 3Ax = 6x, B = (x,Ax), 求一矩阵C，使得 AB=BC.,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例 假设A=(aij)4 5
7、, B= . 求一 对矩阵C,D, 使得B=CAD.,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,2.4 矩阵的秩,一. 基本概念,这样的子式共有 个.,k阶子式,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,例如: A =,2, 0, 4, 1, 0, 1, 3, 2, 4, 0, 8, 2.,的1阶子式有34个:,A的2阶子式有36个:,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,的3阶子式有14个:,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,2. 矩阵A的秩(rank),记为r(A)或秩(A),r(A) = r,A中至少有一个r阶子式D不为零,A的所有r +1阶子式都等于零,而3阶子式全为0,因此它的秩为2.,例如,有一个2阶子式,第
8、二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,(4) r(AT) = r(A).,注: (1) 零矩阵的秩规定为0.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,(3) 如果矩阵的秩等于它的行数，则称是行满秩的；类似有列满秩的概念.,(5) 如果A的每一个k阶子式都等于零，则,(6) 如果A的有一个k阶子式不等于零，则,可逆矩阵也称为满秩矩阵或非退化矩阵,r(A)k .,r(A) k .,问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等 于零, 那么它的4阶子式中会出现非零的 吗?,答: 绝对不会! 因为每个4阶子式都可以按行展开, 通过一 些3阶子式的组合得到.),第二章 矩阵,2.4 矩阵
9、的秩,命题 2.1 r(A) = r 当且仅当 A 中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,注: 对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说, 按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,3,注: 可以证明 命题2.2 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目. 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为阶梯形矩阵.,初等行变换是否改变 矩阵的秩？,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,作业,习题二（B）9,17, 18, 19 上交时间：10月26日（周一） 请学号后两位数字能 被3整除的同学在作业本封面右上角标上A； 被3除余1的同学标上B； 被3除余2的同学标上C。,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,
