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1、,第九章,山东交通学院高等数学教研室,第二节 二重积分的计算法(一),利用直角坐标计算二重积分,在D上连续时,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,存在,特点？,注: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,则有,(2) 若积分域较复杂,X - 型域或Y - 型域 ,则,可将它分成若干,必要时还可以交换积分次序.,可选择积分次序,例1 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1:,解法2:,将D看作X - 型区域,将D看作Y - 型区域,例2 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:
2、,及直线,则,为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,例3 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,注: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分次序.,由被积函数可知,例4 交换下列积分次序,解:,视为X - 型区域 ,积分区域:,则D:,例5 交换下列积分次序,解:,视为Y - 型区域 , 则,积分区域由两部分组成:,例6 计算二次 积分的值,解:,的原函数不是初等函数，,故需交换积分次序.,分析:,视为Y - 型区域 ,由于,积分区域 D:,则D:,例7 计算,其中D 由,所围成.,解:,(如图所示),令,例8 求两个底圆半径为R
3、的直交圆柱面所围的体积.,解:,利用对称性,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,设两个直交圆柱方程为,考虑第一卦限部分,内容小结,1. 直角坐标系下二重积分化为二次,积分的方法:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2. 计算步骤及注意事项,画出积分区域，求出曲线的交点,确定积分次序,写出积分限,计算要简便 ,积分区域分块要少,二次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序,将x , y互换,试将二重积分,及 y轴所围成.,2.,设 在区域D上连续,D是由直线 ，曲线,按两种积分次序化为二次积分,X-型区域：,提示：,Y-型区域：,提示:,3.,交换积分次序,积分区域:,X-型区域：,计算二重积分,其中:,D为圆域,解:,4.,利用对称性.,5. 交换积分顺序计算,解：,积分区域如图.,
