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1、第五章 线性系统的频域分析法,5-1 频率特性及其与时域响应的关系,5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性,5-2 典型环节的频率特性,5-3 系统开环频率特性的极坐标图,5-4 系统开环对数频率特性的绘制,5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态 响应的关系,*5-7 系统的闭环频率特性,5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应,5-1 频率特性及其与时域响应的关系,一、频率特性的基本概念,频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。,频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。,频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其 特点是根据系统的开环频率特性去判断闭
2、环系统的性能。,如图，设初始,当输出阻抗足够大时有：,对上式进行拉氏变换得：,拉氏反变换得：,响应的稳态分量为：,式中：,可见， 分别为 的幅值 和相角 。,设线性定常系统的传递函数为：,为方便起见设系统无重极点，则：,设：,则：,式中：,通常，把 称为系统的频率特性。它 反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信,号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正弦输入信号的衰减(放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输入信号的相移 称为系统的相频特性，它表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。,解：,根据频率特性的概念，系统的稳态输
3、出为：,二、频率特性与时域响应的关系, 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系, 频率特性为什么能反映系统动态特性？,物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。,数学上： ， 中的时间常数等反映 了系统结构。,三、频率特性的几何表示法, 幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线,幅频特性为 的偶函数，相频特性为 的奇函数，因 此， 从 和 的幅相曲线关于实轴对称， 一般只绘制 的幅相曲线。小箭头指示 时幅相曲线的变化方向。,对于RC 网络：,有：,表明RC 网络的幅相 曲线是以 为圆心， 半径为 的半圆，如右 图所示。, 对数频率特性曲线：又称伯德(Bo
4、de)图，由对数幅频曲线 和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按 (对数)分度，单位是 ；对数幅频特性曲线的纵坐标 按 线性分度，单位是分贝 。对数相频特性曲线的纵坐标按 线性分度，单 位为度 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。,仍以RC电路为例：,当 时：,当 时：,在 处：,综上，RC网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来 表示。在 部分为一条 的水平线，在 部 分为斜率等于 的直线。在渐近线的交接处的 频率为 ，此处渐近线的幅值误差为 (最大)。,用描点法绘制出 曲线如图，图中令：,对数分度：当变量增大或减小10倍，称为10倍频程 ， 坐标间距离变化一个单位长度。,交接频率：又称
5、为转折频率，是指两条渐近线交接处对应 的频率。, 对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。其特点 是纵坐标为 ，单位为分贝 ；横坐标为 ， 单位是度 ，均为线性分度，频率 为参变量。,5-2 典型环节的频率特性,一、比例环节,传递函数：,频率特性：,二、惯性环节,传递函数：,频率特性：,三、积分环节,传递函数：,频率特性：,四、微分环节,传递函数：,频率特性：, 理想微分环节, 一阶比例微分环节,传递函数：,频率特性：, 二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,五、振荡环节,传递函数：,频率特性：,乃氏图,与虚轴交点处的频率为 (无阻尼自然振荡角频率),谐振频率 与谐振峰值,上式说明，当 时
6、，幅频特性存在极大值，记 极大处的频率为 ，称为谐振频率，相应的幅值称为谐振峰 值，记为 ，则谐振峰值为：,伯德图, 当 时， ；, 振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻 尼比 有关，渐近线的误差随 的不同而不同；, 当 时，误差不大；当 时，误差增大。, 振荡环节的修正曲线与 有关。,六、纯滞后环节,传递函数：,频率特性：,5-3 系统开环频率特性的极坐标图,上节介绍了典型环节的极坐标图(乃氏图、幅相曲线)， 要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各 的幅值 及相角即可逐点描绘出。,式中：,计算出 即可绘制极坐标图。,例5-1：,解：计算结果如下,系统开环幅相曲线的绘制,根据系统
7、开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作 图，绘制系统开环幅相曲线。,概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征：, 开环幅相曲线的起点 和终点, 开环幅相曲线与负实轴的交点,或：,称 为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的 坐标值为：, 开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性),开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点 是绘制开环幅相曲线的基础。,一、 型系统的极坐标图, 开环幅相曲线的起点在正实轴上；, 终点在原点；,一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开还传递 函数可表示为：,终点处的幅值,终点处的相角：,解：,起点：,终点：,二、型系统的极坐标图, 起点：虚轴无穷远处,
8、 终点：原点,终点处相角：,解：,起点：,终点：,下面，求与负实轴的交点,即与负实轴交点为,求实轴交点的另一种方法,令 ，得：,代入实部得：,三、型系统的极坐标图, 起点：实轴无穷远处, 终点：原点,终点处相角：,四、含纯滞后环节的开环系统的极坐标图,5-4 系统开环对数频率特性的绘制,设开环系统由 个环节串联而成，其传递函数为：,或：,综上有：,因此，采用叠加法即可方便地绘制出系统开环对数 频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的渐进 特性有如下特点：, 低频段( 小于最小交接频率 )的斜率为： ， 为开环系统中所包含的串联积分环节 的数目。低频段(若存在小于1的交接频率时，则为延长 线
9、)在 处的对数幅值为 。即低频段或其延长 线经过点 。, 在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率 要发生变化，若遇到 的环节，在交接频率 处，斜率改变 ；若遇到 的环节时，在交接频率处，斜率改变 。,一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤, 开环传递函数典型环节分解；, 计算各典型环节的交接频率；, 修正。, 通过点 ，绘制斜率为 的低频段；, 从低频段开始，随着 的增大，每遇到一个典型环节的 交接频率，就按上述方法改变一次斜率；,解： 开环传递函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、 一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。, 计算各典型环节的交接频率；,惯性环节：,一阶比例微分环节：,振荡
10、环节：, 绘制低频段；,所以，低频段的延长线经过 ，即 。, 利用误差修正曲线进行必要的修正；, 绘制各环节的相频特性，叠加后得到系统的相频特性。,二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性,定义,最小相位系统相位滞后是最小的。,最小相位系统：开环传递函数中的所有零、极点都位于 平面左半部的系统。各环节都是最小相位。,非最小相位系统：开环传递函数中具有位于 右半平面的零 点或极点的系统。含非最小相位环节的系统,解：两系统的幅频特性是一样的,最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一 的对应关系。,根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的 相频特性和传递函数，反之亦然。,例5-7：已
11、知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传递函数。,解：由 可得：,低频段的斜率为：,三、含有纯滞后环节系统的伯德图,例5-8：,解：,5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性,系统稳定条件？,所有闭环特征根都位于S 左半平面, 劳斯判据, 根轨迹法(图解法)：根据开环零极点绘制闭环 特征根的轨迹。,频域稳定性判据,时域分析判断稳定性的方法？,根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的稳定性。,一、Nyquist稳定判据的数学基础,1.映射(幅角)定理：设 为复变量， 为 的有理分式函 数。对于 平面上任意一点 ，通过复变函数 的映 射关系，在 平面上可以确定
12、关于 的象。在 平面 上选择一条封闭曲线 ，且不通过 的任一零、极点， 从闭环曲线 上任一点 起，顺时针沿 运动一周， 再回到 点，则相应地， 平面上亦从点 起，到 点止，也形成一条闭合曲线 。为方便起见，令：,不失一般性，设 如下图分布：,设 沿 顺时针运动一周，研究 相角的变化情况：,按复平面相角定义，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负：,对于 ，作切线 ，则在 的 段， 的角度减小，在 的 段，角度增加，且有：,同理：,映射(幅角)定理：设 平面闭合曲线 包围 的 个 零点和 个极点，并且，此曲线不经过 的任一零点 和极点，则当复变量 沿封闭曲线顺时针方向移动一周 时，在 平面上的映射曲线
13、按逆时针方向包围坐标 原点 周。,2.复变函数 的选择, 的零点为闭环传递函数的极点； 的极点为 开环传递函数的极点。,令： ，可见：, 当 沿 运动一周所产生的 两条曲线 和 只相差常数1，即 可由 沿 实轴正方向平移(右移)一个单位长度获得。 包围 平面原点的周数等于 包围点 的周数。,3. 平面闭合曲线 的选择, 不经过 的任一零、极点。, 包围 位于 平面右半部的 所有零点和极点。,系统稳定的充要条件是： 的零点都位于 平面的 左半部。即： 。,乃氏回线 可取右图所 示的两种形式：,二、奈奎斯特稳定(奈氏)判据,闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当 从 时，系统的开环频率特性 不穿 过
14、 点，且按逆时针方向包围 点 周， 为位于平面右半部的开环极点数。,若开环系统稳定，即 ，则闭环系统稳定的充要 条件是：系统的开环频率特性不包围 点。,实际上，常只画 从 的部分，故上述 乃氏判据中的 周应改为 周。,闭环极点在 平面右半部的个数：, 半闭合曲线(奈氏图) 穿越 点左侧负实轴的次数。,半次穿越：开环幅相曲线起始于(或终止于)点 左侧 的负实轴。若沿逆时针离开(或终止于)负实轴， 记为半次正穿越；若沿顺时针离开(或终止于) 负实轴，记为半次负穿越。,正穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲线逆时针(从上) 穿越点 左侧负实轴；,负穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲线顺时针(从下) 穿越点
