《自动控制理论教学课件》第四章 根轨迹法

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1、第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念,4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应,4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,4-3 参数根轨迹,4-4 正反馈回路和零度根轨迹,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念,从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确 定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响. W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法根轨迹法。,根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷 时，

2、闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。,一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。但在实际中，最常用的可变参量是系统 的开环增益 。以 为可变参量绘制的根轨迹称为 常规根轨迹。,例4-1：标准二阶系统根轨迹图。,标准二阶系统开环传递函数为：,它有两个极点： ，无零点， 为根轨迹增益。,系统的闭环传递函数为：,闭环特征方程：,闭环特征根(极点) ：,讨论 一定时，根轨迹增益 与特征根之间的关系：,当 时， ，即开环极点；,时的根轨迹(闭环 特征根随 变化的轨迹)如右 图所示。显然， 和 都为正时，系统稳定。,当 时， 和 为互不相等的两个负实根， 对应于系统过阻尼的情况；,

3、当 时，两根相等， ， 对应于系统临界阻尼的情况；,当 时， 两根为共轭复数根， ，这时，根轨迹 与实轴垂直，并相交于 ， 对应于系统欠阻尼的情况。,规定：,二、根轨迹与系统性能,稳定性,稳态性能,动态性能,根轨迹与虚轴交点处的 值就是临界根轨迹增益。,稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化，系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。,动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以确定出满足系统性能的参数范围。,三、闭环零极点与开环零极点之间的关系,典型的控制系统结构图如右：,开环传递函数为

4、：,闭环传递函数为：,开环增益：, 影响系统输入 输出的幅值比,闭环增益：,根轨迹增益：, 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。, 闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。,结论,系统的特征方程：,影响系统 的稳态误差, 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。,4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件,闭环特征方程：,即：,幅值条件：,相角条件：,凡是满足上述幅值条件和相角条件的 值，就是系 统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在 根轨迹上。,二、开环传递函数的两种表达式,显然有：,根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点形式

5、：,绘制根轨迹的幅值(模值)条件为：,绘制根轨迹的相角条件为：,或,模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。,相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。,注意几点！,模值方程是根轨迹的必要条件 平面上的某一点 是根轨迹上的点，则幅值条件成立； 平面上的任一 点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。,在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主 要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。,三、绘制根轨迹的基本规则 ,规则1 根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,证明：闭环特征方程可表示为,上式同除 得：,实际系统中，

6、 ，因此，有 条根轨迹的终点 将在无穷远处(无限零点；无限零点+有限零点=极点数)。 若 ，则必有 条根轨迹的起点在无穷远处(无 限极点)。,幅值条件可以表示为：,上式表明：只有当 时 ，故有 条根轨迹分支，趋向无穷远处。,规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹的分支数 ，它们是连续的， 并且对称于实轴。,证明： 根轨迹是开环系统某一参数从 时，闭环特征 方程的根在 平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支 数应该等于闭环特征方程的根的数目。 一般物理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭 环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴 上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹对 称于

7、实轴。根据对称性，只需做出上半 平面的根轨 迹，然后，利用对称性就可以画出下半 平面的根轨迹。 因为系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数 连续变化时，根也连续变化，故根轨迹是连续的。,规则3 根轨迹的渐进线,当开环有限极点数 大于有限零点数时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为 的一组 渐近线趋向无穷远处，且有：,证明：,式中，,当 值很大时，,由 得渐近线方程为：,即：,二项展开式：,根据二项式定理有：,代入渐近线方程得：,设 ，则：,令 可得：,解得：,式中：,规则4 实轴上的根轨迹,实轴上的某一区域，若其右边开环零、极点的数目 之和为奇数，则该区域必定是根轨迹。,由图可见，在

8、 右 边的每个开环零点 或极点提供的相角 为180，在 点左 边的每个开环零点 或极点提供的相角 为0，一对共轭开 环极点或零点对提 供的相角互相抵消， 其和为零。,注： 箭头指向 。,所以当 右侧实轴上有奇数个零极点时， 是根轨迹上的点。,相角条件变为：,即：,例4-2：试绘制开环传递函数为 的单位 反馈系统的根轨迹。,解：, 为根轨迹的起点； 开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。,实轴上根轨迹：,问题： 点坐标如何求取？,规则5 根轨迹的分离点与分离角,分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的 切线方向之间的夹角。,分离点：两条或两条以上根轨迹分支在S平面上相遇又 立即分开的点

9、，称为根轨迹的分离点。,对于实轴上0至 线段的实数根而言，其对应的 值在 点为极大值。 可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角为,例4-3：求上例中 点的坐标。,解：系统的特征方程为,令 得：,为分离点 的坐标。,分离点的坐标 还可以由以下方程求得：,证明：闭环特征方程可表示为,根轨迹在 平面相遇，说明 有重根，,即：,下式除以上式得：,即： 证毕。,规则6 根轨迹的出射角和入射角,式中， 是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角,出射角(起始角)：根轨迹离开复数极点处的切线与正实轴 的夹角。,入射角(终止角)：根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴 的夹角。,举例：如图，

10、设 为距 很近的根轨迹上的一点， 。,因为 位于根轨迹上，应满足 相角条件，即：,规则7 根轨迹与虚轴的交点,若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用 劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 ，然后 分别令其实部和虚部为零而求得。,例4-4：设系统的开环传递函数为 试绘制系统的概略根轨迹。,解：, 标出零极点, 确定实轴上的根轨迹,四个开环极点，无开环零点，四条根轨迹趋向无穷零点。,实轴上， 区域为根轨迹。, 确定根轨迹的渐近线, 确定分离点和分离角,由 可得：,解得： (用二分法求近似解)。分离角,知识回顾,二分法：设 在 上连续， 且 在 内仅有一个实根 ，于是 即是这个根的隔离区间。

11、取 ，计算 ，若 ，则 ； 若 与 同号，则令 由 知： 且 ； 若 与 同号，则令 由 知： 且 ； 以 作为新的隔离区间，重复上述做法，当 时可求得 ，且 ； 重复 次， ，且 。, 确定出射角, 确定根轨迹与虚轴的交点,方法一：劳斯判据,系统的特征方程为：,令 可得：,根据 的系数构建辅助方程：, 绘制根轨迹,方法二：把 代入特征方程 得,由式(2)可得：,代入式(1)得：,规则8 根之和,当 时，特征方程第二项系数与 无关， 无论 取何值，开环 个极点之和总是等于闭环特征 方程 个根之和，即：,在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。,一个重要推论：,由于根之和不变， 增大，一些根

12、轨迹分支向左移 动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。,小结：绘制根轨迹的步骤, 标出零极点；, 确定实轴上的根轨迹；, 确定根轨迹的渐近线；, 确定分离点和分离角；, 确定出射角；, 确定根轨迹与虚轴的交点；, 绘制根轨迹。,例4-5：设单位反馈系统的开环传递函数为 ， 试绘制闭环系统的根轨迹。, 确定实轴上的根轨迹；,实轴上， 区域为根轨迹。, 确定根轨迹的渐近线；, 确定分离点和分离角；, 确定出射角；,由 可得：, 确定根轨迹与虚轴的交点；, 绘制根轨迹。,系统的特征方程为：,故根轨迹与虚轴不相交。,四、闭环极点的确定,以上我们用相角条件介绍了绘制根轨迹的基本规则，根据幅值条件

13、，可以求出对应根轨迹的点(闭环极点)的 增益 (或 )。,例4-6: 给定闭环主导极点的阻尼比为 ，试利用例4-4 绘制的根轨迹图，求增益 以及其他闭环极点。,解：1. 绘制 (即 )线 根据它与根轨迹的交点求得闭环共轭极点为：,用相角条件验证,确实是根轨迹上的点。,2. 求其它闭环极点,方法一：试探法,已求得闭环共轭极点：,方法二：,由 可解得：,验证：,4-3 参数根轨迹,一、参数根轨迹,前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以根轨迹增益 为可变参量，这种根轨迹称为常规根轨迹。 从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数， 如开环零点、极点，时间常数和反馈系数等，这种根轨迹 称为参数根轨迹，或广义根轨迹。,前面介绍的相角条件、幅值条件及绘制根轨迹的各种 规则都依然有效。,例4-7: 控制系统开环传递函数为 ， 试绘制以 为参变量的根轨迹。,以 为参变量的根轨迹方程：,解：系统的闭环特征方程为：,不同 值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇。,根轨迹与虚轴交点：,二、开环零点和极点对根轨迹的影响,开环传递函数上增加零点,提高了系统的相对稳定性,开环传递函数上增加极点,降低了系统的相对稳定性,三、多回路系统的根轨迹,例4-8: 设控制系统的结构如图所示，其中参量 均已确定，要求绘制以 为参变量的根轨迹。,解：,