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1、返回总目录,第3章 控制系统数学模型及其转换,随着系统规模的日益庞大，结构日益复杂，仅仅依靠人的经验及传统技术难以满足生产过程越来越高的要求。为避免不合理方案实施带来的风险和浪费，必须了解系统的结构及其内部发生的活动，从而达到对系统的正确的评价。设计、控制和优化系统，需要进行反复多次试验。试验的方法基本上分为两大类：一种是直接在真实系统上进行，另一种是先构造模型，通过对模型的试验来替代或部分替代对真实系统的试验。虽然，第一种方法在某些情况下仍然是必不可少的，但这种方式的弊端在于可能引进干扰而危害过程性能，同时在真实系统上实验，很难保证每一次操作条件都相同，因此难以对实验结果的优劣做出正确的判断
2、和评价，另外还存在实验时间太长、费用太大或者太危险等原因，作为一种更安全、更可靠的替代办法是采用数学模型模拟、仿真系统过程静态和动态特性，因此，第二种方法日益为人们所青睐，系统数学模型的研究随之发展起来。,系统数学模型研究，可以进一步深刻认识系统内部和外部发生的现象，揭示其运动规律。在数学模型上做实验，可以不必考虑系统的安全性而施加任意外界激励信号，激发和识别系统的动态特性，进一步辨识其非线性、时变的本质。一旦得到描述过程动态特性的数学模型，基于系统模型实施控制策略，有望改善控制系统的性能，降低能耗，提高系统效率。 本章首先给出控制系统数学模型的分类，介绍控制系统常用的数学模型的描述形式。最后
3、给出各种模型，如连续系统、离散系统、微分方程、传递函数、状态空间表达式等数学模型之间的转换、连接和MATLAB实现。,系 统 类 型,系统是所研究的对象，模型是仿真的基础。根据系统中变量的取值变化，系统可分为连续时间系统和离散事件系统两大类。基于连续时间系统的仿真，时间上可以是连续的，也可以是离散的，但是系统中变量的取值x(k)或x(t)必须是连续变化的。离散事件系统中的变量只是在离散事件点上发生变化，而且这些离散事件一般是不确定的。,系 统 类 型,一.连续和离散系统,根据系统自变量(时间)是连续变化还是离散变化，系统分为连续系统和离散系统。 (1) 连续系统系统输入、输出信号都是连续时间信
4、号。 (2) 离散系统系统输入、输出信号都是离散时间信号。 (3) 混合系统系统输入、输出信号包含连续信号和离散信号。 连续时间的数学模型用微分方程描述。离散时间系统的数学模型用差分方程描述。例如：一般L、R、C电路都是连续时间系统。数字计算机是典型的离散时间系统。实际上离散时间系统经常与连续时间系统组合运用，此时称为混合系统(或采样系统)。如自动控制系统和数字通信系统。,系 统 类 型,二. 线性和非线性系统,根据输入输出关系是否同时满足齐次性和叠加性，系统分为线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态，在输入信号,为任意实数，,和,或,和,作用下，有,式中，,为输入输出之间函
5、数关系。那么，该系统称为线性系统，否则是非线性系统。,根据模型参数是否随时间变化，线性系统又可细分为线性定常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。 例如，线性定常系统：,系 统 类 型,线性时变系统：,非线性定常系统：,式中，,分别为系统输入、输出。,三.确定和随机系统,系 统 类 型,根据系统输入、输出和内部状态呈现的规律，系统分为确定性系统与随机性系统。输入输出之间函数关系能够用确定性模型描述的系统，称为确定性系统，否则称为随机系统(或不确定性系统)。在控制系统中，随机因素可能作用在系统的入口，也可能作用在系统的出口，还可能影响系统模型本身
6、。例如噪声输入的随机控制系统，其微分方程具有如下形式。,式中，,分别为状态变量和输出变量，,为输入噪声，通常是正态分布的白噪声,控制系统常用数学模型,根据系统输入、输出与内部状态变量之间关系，控制系统模型可分为外部模型和内部模型。通常，把着眼于建立系统输入输出关系的数学模型称为外部模型，包括时域模型(微分方程、差分方程)和频域模型(S传递函数或Z传递函数)。着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的数学模型称为内部模型，相应的数学模型称为系统的状态空间方程(连续状态空间方程或离散状态空间方程)。数学模型分类如图3.1所示。,图3.1 控制系统模型分类,控制系统常用数学模型,一. 连续系统
7、,1微分方程 一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即,式中，,分别为系统输入量、输出量，n为系统的阶次，,为系统的,结构参数，,为输入函数的结构参数，它们,及各阶导数,的初始值为,均为实常数。,已知输出变量,控制系统常用数学模型,稍加整理，并记,2传递函数 若系统的初始条件为零，即系统在t=0 时已处于一个稳定状态，那么对式(3.1)两边取拉普拉斯变换后可得,式(3.2)称为系统的传递函数。,控制系统常用数学模型,3状态空间描述 微分方程和传递函数都只描述了系统输入与输出之间的关系，而没有考虑系统内部状态的动态运动，仅仅实现系统输入与输出之间的关系是不够的，还必须复现模型的内部变量即状态变量的
8、动态变化规律。 状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，引进经典控制理论所忽略的中间内部状态，因此状态空间表达式能够完全反映系统的全部独立变量的变化，而且能够方便处理初始条件。,控制系统常用数学模型,=AX+BU 状态方程 (3.3) Y=CX+DU 输出方程 (3.4) 式中,在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述。状态空间表达式包括状态方程和输出方程。线性定常系统的状态空间描述为,维系统矩阵,控制系统常用数学模型,维输入矩阵,维输出矩阵,控制系统常用数学模型,维直接传递矩阵,r维输入向量，,n维状态向量，,m维输出向量,控制系统常用数学模型
9、,对于线性时变系统，系数矩阵A，B，C，D，均与时间t有关，状态空间描述为,系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，不再只局限于输入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有力工具。状态空间分析法特别适合于用计算机来计算，有利于把工程技术人员从烦琐的计算中解脱出来。,控制系统常用数学模型,二. 离散系统,假设系统输入,、输出,及其内部状态变量,均是时间序列，其中T,为离散时间间隔，为书写简便，用,表示。与连续时间系统类似，离散时间系统数学模型有3种形式。,1差分方程 设系统差分方程为,(3.6),引进后移算子,为,(3.7),控制系统常用数学模型,式(3.6)可写为,(3.8),控制系
10、统常用数学模型,令,则,(3.9),控制系统常用数学模型,2离散传递函数(Z传函) 假设系统的初始条件为零，即,则得,(3.10),系统传递函数,为,(3.11),在初始条件为零时，,与,等价。,控制系统常用数学模型,3. 离散状态空间模型 类似在连续系统中，从微分方程或传递函数建立状态空间表达式，叫做系统的实现。在离散系统中，从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式，也是一种实现。 多变量离散状态空间表达式,(3.12),控制系统常用数学模型,二. MATLAB模型表示,MATLAB的控制系统工具箱是提供自动控制系统建模、分析和设计方面函数的集合，提供传递函数模型、零极点增益模型、状态
11、空间模型三种形式线性时不变(LTI)模型。有关模型表示的函数如表3-1所示。,控制系统常用数学模型,1. 传递函数模型(transfer function model: TF) 已知传递函数模型：,(3.13),由分子和分母多项式系数可以唯一确定传递函数。 分子向量 num=,分母向量den=,；,控制系统常用数学模型,MATLAB Control 工具箱中，用命令tf( )可以建立一个传递函数模型，或将零极点增益模型和状态空间模型变化为传递函数模型。tf( )函数调用格式如下： sys = tf(num，den)；%用于生成连续传递函数(S传递函数)； sys = tf(num，den，Ts
12、)；%用于生成离散传递函数(Z传递函数)； sys = tf(M)；%用于生成静态增益S传递函数(标量或矩阵)； sys = tf(num，den，ltisys)；%用于生成具有LTI模型属性的传递函数； sys = tf(num，den，Property1，Value1，.，PropertyN，ValueN)；% 用于生成具有LTI模型属性的传递函数； sys = tf(num，den，Ts，Property1，Value1，.，PropertyN，ValueN)；% 用于生成具有LTI模型属性的传递函数； sys = tf(s)；%用于生成拉普拉斯变量s有理传递函数； sys = tf(z
13、，Ts)；%用于生成采样周期为Ts的z有理传递函数；,控制系统常用数学模型,tfsys = tf(sys)；%用于将任意状态空间模型SS或零极点增益模型ZPK的LTI对象sys转换成传递函数形式； tfsys = tf(sys，inv)；% 采用转置算法将任意状态空间模型SS LTI对象快速转换成传递函数形式。 其中sys为传递函数对象，类型为LMI object。 Ts为采样时间(单位：秒)，当Ts=0或省略，表示生成的传递函数是连续传递函数S传递函数；当Ts= -1或Ts= ，表示生成的传递函数是离散传递函数Z传递函数，采样时间未指定。 对于多输入多输出MIMO传递函数，应该分别指定每个单
14、输入单输出SISO入口分子和分母系数。通常，分子和分母为cell类型的向量，“行”作为输出，“列”作为输入。行向量numi，j和列向量deni，j是输入j到输出i之间SISO传递函数的分子和分母元素。,控制系统常用数学模型,【例3.1】 给定SISO系统传递函数为,使用MATLAB表示该传递函数 num=2 1;den=3 4 1; sys1=tf(num，den) get(sys1); % tf模型属性 运行结果： Transfer function: 2 s + 1 - 3 s2 + 4 s + 1 % tf模型属性,控制系统常用数学模型,【例3.2】 给定SISO系统输入为“flow”，
15、输出为“Temp”，传递函数为,使用MATLAB表示该传递函数 num=(1.3 2 2.5); den=(1 0.5 1.2 1); sys2=tf(num,den,inputdelay,2,inputName,flow,OutputName,Temp) 运行结果： Transfer function from input “flow“ to output “Temp“: 1.3 s2 + 2 s + 2.5 exp(-2*s) * - s3 + 0.5 s2 + 1.2 s + 1,控制系统常用数学模型,【例3.4】 若一采样周期为0.2s的离散MIMO传递函数为,MATLAB命令如下： clc; num=1 1,1 0;1,2; %分子 den=1 2 1,1 0 2;2 1,1 1; %分母 s
