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1、第十章 交流动态电路,如果电路中所含的电源是交流电源，则称该电路为交流电路。通常交流电路都是指正弦交流电路，如果电路中含有动态元件则称为动态交流电路。 本章重点： 1、正弦电压、电流的基本概念 2、在正弦激励下特解的求法 3、重点掌握相量法的基本概念,第十章 交流动态电路,101 正弦交流电的基本概念 102 正弦RC电路的分析 103 正弦量的相量表示 104 用相量法求微分方程的特解,郑州大学信息工程学院,返回目录,101 正弦交流电的基本概念,一、周期电压、电流 指随时间按周期变化的电压和电流。 u(t)=u(t+kT) 、 i(t)= i(t+kT) T为周期； f =1/T f为频率
2、。,二. 正弦电压和电流,随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间t 的 sin 函数或 cos 函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为 cos 函数。,给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。,三. 正弦量的三要素,振幅 Im,角频率,Im 是电流 i 的最大值。,ti称为相位，表示波形变化的进程,是 i 的相角随时间变化的速度，反映波形变化快慢，称为角频率。单位：弧度 / 秒,电流 i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ，有如下
3、关系,较小时,较大时,初相位 i,i 是 t = 0 时刻 i 的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。,由于 cos 函数是周期函数，故i 是多值的，一般取,i 的值与计时起点的选择有关。,黑：cost 红：cos(t+900 ) 蓝：cos(t-900 ),初相不同，波形到达正最大值的时间不同,四. 同频率正弦量的相位差,同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。 相位差 的单位：弧度、度。,设,则u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：,相位差 是多值的，一般取 。,相位差反映了两个波形谁先到达正最大值。同频率正弦量相位差的几种情况：,u 与 i 同相,u 超前 i,u 滞后 i
4、,u 与 i 反相,u 与 i 正交,例1：已知,求 u1 与 u2 的相位差 。,解：,即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。,例2：已知,求 u 与 i 的相位差 。,解：,u 超前 i (2 / 3) 弧度 。,即,若|，当为正时，相位差减2，为负时，相位差加2，再观察。,五. 正弦电压、电流的有效值,1、定义：一个周期内在同一个电阻R上，一个周期量产生的热效应与一直流量相当，则该直流量称为周期量的有效值。,周期电流 i通过电阻R，R在一周期时间T内吸收的电能为,若有,恒定电流 I通过电阻R，R在T时间内吸收的电能为,则,2、有效值的计算：,有效值等于瞬时值的平方在一个周期内的积
5、分的平均值，再取平方根，称方均根值。 有效值用不加下标的大写字母U、I表示。,同样可推得正弦电压 u 的有效值为：,正弦电流 的有效值为：,注意： 通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。譬如民用交流电压220V、工业用电电压380V等，交流测量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效值。但是，各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考虑。 ,第十章 交流动态电路,101 正弦交流电的基本概念 102 正弦RC电路的分析 103 正弦量的相量表示 104 用相量法求微分方程的特解,郑州大学信息工程学院,返回目录,here,电路如图，已知：,求,解：由KCL得方程,102 正弦RC电路
6、的分析,(1) 式通解为：,其中,设,将(3)、(4)代入(1)式：,比较(5)式两边可得：,将(3)、(4)代入(1)式，化简可得：,即(1) 式通解为：,代入初始条件(2)式，得：,方程(1) 满足初始条件的解为：,自由分量的绝对值随时间按指数规律衰减，因此又称为暂态分量。 强制分量是与电源同频率的正弦量，当 t = ，响应中只剩下该正弦分量，此时称电路进入了正弦稳态。(工程上认为，时间为 或 时，电路已进入稳态。),暂态分量的初值 与 有关。若 ，则暂态分量为零，电路直接进入稳态；若 或 ，则暂态分量初值为 ，暂态分量在最初一段时间绝对值较大，使 uc 在这段时间某些瞬时可能产生过电压。
7、下图为u=0 时uc 波形图。,由于u与i 有关，而i 与计时起点（即开关动作的时刻）有关 ，因此开关动作时刻的不同将会影响暂态分量的大小。,稳态分量,暂态分量,第十章 交流动态电路,101 正弦交流电的基本概念 102 正弦RC电路的分析 103 正弦量的相量表示 104 用相量法求微分方程的特解,郑州大学信息工程学院,返回目录,10.3.1 复数的表示方法 10.3.2 复数的运算 10.3.3 正弦量的相量表示,103 正弦量的相量表示,10.3.1 复数的表示方法,直角坐标形式：,其中 a1 、a2 均为实数，a1 是A的实部，a2 是A的虚部。,向量表示：,a ：复数A的模, ：复数
8、A的辐角,有：,三角函数形式：,指数形式（极坐标形式）：,根据欧拉公式：,可得：,例1：已知 ，求其极坐标形式。,解：,解：,10.3.2 复数的运算,取实部、取虚部,加减法运算,设,则,设,则,乘除运算,例： 设,设,则,或,则,定义：,可表示为：,设某一正弦电流为,称 为电流 i 的振幅相量。,称 为电流 i 的有效值相量(简称相量)。,有：,10.3.3 正弦量的相量表示,根据欧拉公式：,一个正弦量的相量是复常数，其模是该正弦量的有效值，其辐角是该正弦量的初相位。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系。注意：相量只是用来表示正弦量，但它不等于正弦量。 相量的运算规则即
9、复数的运算规则。相量也可用向量表示，称为相量图。,例1：已知,解：,求相量 及 ，并画出相量图。,画相量图时， 和 的长度采用不同的比例。,解：,也可直接写出正弦量表达式：,由 知,得：,104用相量法求微分方程的特解,一、几个引理,引理1： 当且仅当两个同频正弦量用相同的相量表示，它们才是相等的，即两正弦量相等，则它们对应的相量也相等，反之亦然。,引理2：表示若干个正弦量线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。,即,证毕.,证明：,例：,求,解：,得,则,证毕.,引理3：若 的相量是 ，则 的导数的相量为j ，其n阶导数的相量为,已知：,求,解：由KCL得方程,二、用相量法求常
10、系数线性微分方程的特解：,例.iL(0) =2A, uc(0) =1v, us(t)cos2t (t).求uc(t),作业： P266: 1、4、11、14,4.9 小 结,(1) 动态元件的VAR是微分或积分关系，如下表所示。,(2) 描述动态电路的方程是微分方程。利用KCL, KVL和元件的VAR可列写出待求响应的微分方程。利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。,(3) 零输入响应是激励为零，由电路的初始储能产生的响应，它是齐次微分方程满足初始条件的解。零状态响应是电路的初始状态为零，由激励产生的响应，它是非齐次微分方程满足初始条件的解，包含齐次解和特解两部分。,(
11、4) 假若电路的初始状态不为零，在外加激励电源作用下，电路的响应为完全响应，它等于零输入响应与零状态响应之和。 动态电路的响应也可以分为自由响应与强迫响应。对于稳定电路，在直流电源或正弦电源激励下，强迫响应为稳态响应，它与激励具有相同的函数形式。自由响应即为暂态响应，它随着时间的增加逐渐衰减到零。 零输入响应和自由响应都是满足齐次微分方程的解，它们的形式相同，但常数不同。零输入响应的待定常数仅由输入为零时的初始条件yx(0+)所确定，而自由响应的待定常数由全响应的初始条件y(0+)所确定。,(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为,t 0,求三要素的方法为 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 稳态响应y(): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y()。 时常数：RC电路，=RC; RL电路，=L/R。式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。, (5) 单位阶跃响应s(t)定义为：在(t)作用下电路的零状态响应。 (6) 对于二阶电路，只要求了解由于其特征根s1, s2的取值有4种不同的情况，其响应分为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和零阻尼。,
