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1、3 协方差及相关系数,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,设X和Y为两随机变量，若E X-E(X)Y-E(Y) 存在，则称之为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X), Cov(X,X)=D(X).,一、协方差,2. 性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y
2、-E(Y) ,1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺
3、点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,相关系数的性质：,说 明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,当|XY |较大时, 通常说X,Y线性相关的程度较好; 当|XY |较小时, 说X,Y线性相关的程度较差.,对随机变量X，Y，有如下事实等价：,1、Cov(X,Y)=0;,2、X与Y不相关；,3、E(XY)=E(X)E(Y);,4、D(X+Y)=D(X)+D(Y).,注：独立性和不相关性有联系，但又不同，独立性比不相关性更强。,性质：如果随机变量X与Y互相独立，则X与Y不相关。（反之不成立）,但对下述情形，独立与不相关等价,求：,
