《届高三文科数学人教a版一轮复习课件：8.5椭 圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三文科数学人教a版一轮复习课件：8.5椭 圆（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 椭 圆,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)椭圆的定义,F1,F2,|F1F2|,(2)椭圆的标准方程和几何性质,-b,b,-a,a,坐标轴,原点,-a,a,-b,b,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2c,(0,1),b2+c2,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)设椭圆 =1(ab0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最 小值_,这时,P在短轴端点处;当x=a时,|OP|有最大值_,这时,P在 长轴端点处. (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中
2、a 是斜边长,a2=b2+c2. (3)已知过焦点F1的弦AB,则ABF2的周长为_. (4)若P为椭圆上任一点,F为其焦点,则a-c|PF|a+c.,b,a,4a,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:待定系数法、定义法、点差法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想与方程思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (4)椭圆
3、既是轴对称图形,又是中心对称图形.( ),【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在图形. (2)正确.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a, 又|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.,(3)错误.因为 所以e越大,则 越小,椭圆 就越扁. (4)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对 称. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修1-1P42T2(1)改编)已知椭圆 =1
4、的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于( ) A.8 B.7 C.6 D.5,【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. 所以 解得6m10. 因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4， 解得m=8.,(2)(选修1-1P42T5(3)改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率 为 则椭圆的标准方程为_. 【解析】设椭圆的标准方程为 =1(ab0). 因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率 所以 故椭圆的标准方程为 答案：,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014大纲版全国卷)已知椭圆C： (ab0)的左、右 焦点为F1,F2，离心率为 过F2的直线l交C于A,B两点，若AF
5、1B的 周长为 则C的方程为( ),【解析】选A.由椭圆的定义可知，|AF1|+|AF2|=2a， |BF1|+|BF2|=2a, 又因为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 即4a= 解得 又 则c=1，b2=a2-c2=2， 所以椭圆的方程为,(2)(2014辽宁高考)已知椭圆C: 点M与C的焦点不重合, 若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 |AN|+|BN |= .,【解析】根据题意，椭圆的左右焦点分别为F1(- ,0),F2( ,0)， 由于点M的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中 点为椭圆的上顶点H(0,2)，则M关于
6、C的焦点的对称点分别为A(-2 +3, 0),B(2 +3,0)，而点N(3,4)，据两点间的距离公式得 |AN|+|BN| 答案：12,(3)(2014江西高考)设椭圆C: 的左右焦点为 F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若 ADF1B,则椭圆C的离心率等于 .,【解析】不妨令 所以直线F1B的方程为 令x=0可得 即 因为ADF1B，所以 整理得 故 即 解得e= (负值舍去). 答案：,考点1 椭圆的定义及应用 【典例1】(1)(2015本溪模拟)椭圆 的左、右焦点分别 为F1,F2,弦AB过F1,若ABF2的内切圆周长为,A,B两点的坐标分别为
7、 (x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 . (2)已知F1,F2是椭圆C: (ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的 一点,且 若PF1F2的面积为9,则b= .,【解题提示】(1)由椭圆的定义可知,ABF2的周长为4a=20,然后利用 面积相等即 (a+b+c)r= |F1F2|y1-y2|,(其中r为内切圆半径)解决. (2)注意到点P为椭圆上的一点,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出|PF1|PF2|,进而可求得b值.,【规范解答】(1)ABF2的内切圆周长为,所以ABF2的内切圆的半 径为 ,又ABF2的周长为4a=20,所以ABF2的面积为 20=5,另 一
8、方面ABF2的面积为 |F1F2|y1-y2|,则|y1-y2|= 答案:,(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2, 所以2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1|PF2|=2b2, 所以 = |PF1|PF2|= 2b2=b2=9. 所以b=3. 答案:3,【互动探究】将本例(2)中条件“ ”“PF1F2的面积为9” 分别改为“F1PF2=60”“ ”,则结果如何?,【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a, 又F1PF2=60, 所以|PF
9、1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=4c2, 所以3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2, 所以|PF1|PF2|= b2, 所以 所以b=3.,【规律方法】 1.椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等.,【变式训练】(2015成都模拟)椭圆 的左焦点为F,直 线x=
10、m与椭圆相交于点A,B.当FAB的周长最大时,FAB的面积是 .,【解析】设A(2cos , sin )，FAB的周长为 2(|AF|+ sin )=2(2+cos + sin )=4+4sin(+ ). 当= ，即A(1, )时，FAB的周长最大. 此时FAB的面积为S= 23=3. 答案：3,【加固训练】1.已知椭圆 +y2=1,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一 点,则|PF1|PF2|的最大值为( ) A.6 B.4 C.2 D.8 【解析】选B.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1|PF2|=mn =4(当且仅当m=n=2时,等号成立).,2.椭圆 +y2
11、=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=( ),【解析】选A.a2=4，b2=1，所以a=2，b=1， 不妨设P在x轴上 方，则F1(- ，0)，设P(- ，m)(m0)，则 解得m= ，所以|PF1|= ，根据椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，所以 |PF2|=2a-|PF1|=,考点2 椭圆的标准方程与几何性质 【典例2】(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的 距离分别为 过点P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦 点,则椭圆的标准方程为 .,(2)(2014安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E: (ab0)的 左
12、、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|. 若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|. 若cosAF2B= ,求椭圆E的离心率.,【解题提示】(1)考虑设出椭圆的标准方程,然后求参数,注意由已知条件不能确定焦点所在坐标轴,因此椭圆的标准方程有两种形式. (2)根据椭圆的定义及三角形的周长求解;由已知条件及椭圆定义结合余弦定理、离心率的定义求解.,【规范解答】(1)设椭圆的标准方程是 (ab0) 或 (ab0)，两个焦点分别为F1，F2，则由题意，知 2a=|PF1|+|PF2|=2 ,所以a= .,答案：,【一题多解】解答本例(1)还有如下方法: 设椭圆
13、的两个焦点分别为F1,F2, 不妨令|PF1|= ,|PF2|= . 由椭圆的定义,知2a=|PF1|+|PF2|=2 ,即a= . 由|PF1|PF2|知,PF2垂直于长轴. 故在RtPF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2=,所以c2= ,于是b2=a2-c2= . 又所求椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求椭圆的方程 为 答案:,(2)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1, 因为ABF2的周长为16, 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. 设|BF1|=k,
14、则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,在ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0, 故a=3k,于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k, 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2F1AF2A, 故AF1F2为等腰直角三角形, 从而,【易错警示】本例(1)中易得出 的错误结论. 其原因是没有注意到题目中没有指明椭圆焦点的位置
15、，误认为焦点在x轴上，在解决与椭圆方程有关问题时，如果题目中没有明确焦点位置，要注意分析题意或分类讨论.,【规律方法】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能. (2)设方程：根据上述判断设出方程. (3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.,2.求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2=a2-c2消去 b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 提醒:当椭圆焦点位置不明确时，可设为 (m0,n0, mn)，也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).,【变式训练】如图,椭圆C: (ab0)的左焦点为F1,上顶点为B2,右顶点为A2,过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P,若|PA2|=3b,则椭圆C的离心率为 .,【解析】由题意知 答案:,【加固训练】已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使 则该椭 圆
