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1、数学物理方程与特殊函数, 课程的内容,三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数,分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法,波动方程、 热传导、 拉普拉斯方程,贝赛尔函数、 勒让德函数, 数学物理方程定义,描述某种物理现象的数学微分方程。,一、 基本方程的建立,第一章 一些典型方程和 定解条件的推导,二、 定解条件的推导,三、 定解问题的概念,一、 基本方程的建立,条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。,例1、弦的振动,简化假设：,(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向
2、：,纵向：,其中：,其中：,其中：,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得 ：,拉普拉斯算子：,同理可得：,电场的三维波动方程,磁场的三维波动方程,例3、静电场,电势u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程(无源场),泊松方程,例4、热传导,所要研究的物理量：,温度,根据热学中的傅里叶实验定律,在dt时间内从dS流入V的热量为：,从时刻t1到t2通过S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体
3、积的面积分）,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,热传导方程,稳恒温度场：,有热源：,有界杆上的热传导（杆的两端绝热）,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件的推导,其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉
4、普拉斯方程的初始条件,描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件,A、 波动方程的初始条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移 系统各点的初速度,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、 波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。,或,B、热传导方程的边界条件,(1) 给定温度在边界上的值,S给定区域 v 的边界,(2) 绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面
5、的温差成正比。,热交换系数； 周围介质的温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,1、定解问题,三、定解问题的概念,(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,定解问题的检验,解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。,3、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数
6、微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,2、微分方程一般分类,(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。,线性方程的解具有叠加特性,4、叠加原理,几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上),判断下列方程的类型,思考,5、微分方程的解,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。,形式解：未经过验证的解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法
7、、积分变换法、格林函数法,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,令,带入方程：,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,特
8、征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3） 令 ， 为非零实数,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法,t=t0时：,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。,解：,例2求下列定解问题,初始条件,若l=1,a
9、=10时的震动。,例3 求下列定解问题,解：,例4 求下列定解问题,令,带入方程：,解：,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,令,令,带入方程：,令,例5 求下列定解问题,解：,例6 求下列定解问题,解：,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,若,有界杆上的热传导（杆的两端绝热）,分离变量流程图,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,例7 求下列定解问题,解：,例8 求下列定解问题,解：,2 圆域内的拉普拉斯问题,欧拉方程,例9 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,例10 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,例12 求下列定解问题,解：
10、,欧拉方程,其他为零,例13 求下列定解问题,解：,例13 求下列定解问题,解：,例14 求下列定解问题,解法一：令,解法二：令,常用本征方程 齐次边界条件,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,非齐次方程的求解思路 用分解原理得出对应的齐次问题 解出齐次问题 求出任意非齐次特解 叠加成非齐次解,思考,令：,令：,为什么？,例15 求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,例16 求下列定解问题,解：令,当,当,当,时,时,时,例17 求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下：,例18 求定解问题,五 非齐次边界条件的处理,解：令,设：,f 和W与t无关,
11、例19 求下列定解问题,解：令,例20 求定解问题,解：令,例21 求定解问题,解：令,例22 求定解问题,解：令,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件 直接用驻波法,非齐次方程，齐次定解条件 固有函数法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,1. 存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。,2. 所有特征值均不为负。,3. 任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。,4. 特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函
12、数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。,第三章 行波法与积分变换法,一 行波法,适用范围： 无界域内波动方程，等,1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。,关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,一维波动方程的达朗贝尔公式,行波法,结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。,a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波,4 解的物理意义,b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,5 达朗贝尔公式的应用,特征线,特征变换,行波法又
