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1、第三章 计算机控制系统的数学描述,计算机控制系统一般是指用数字计算机控制连续被控对象的闭环系统。本章主要介绍Z变换方法、差分方程方法和状态方程方法表达计算机控制系统。,3.1 Z变换连续系统用拉普拉斯变换方法计算机控制系统用Z变换方法,1. Z变换定义 连续信号 通过采样周期为T的理想采样开关后，成为采样信号 （3.1）,连续函数的拉氏变换定义为：,其中 因为 ,（3.2）上式中， 是s的超越函数。为了使表示简化，令 （3.3)即 （3.4）结论：采样信号的Z变换就是采样信号的拉氏变换，并做 的置换。,对一个系统来说，Z变换一般形式可以写成：,(3.5)或写成 的形式 （3.6）将（3.5）、
2、(3.6)改写成下列形式，即 （3.7）,2.求Z变换的方法（1）级数求和法,例3.1 求指数函数 的Z变换上式为等比级数，公比为 ，级数收敛,例3.2 求单位脉冲 函数的Z变换, 采样信号的表达式为当 函数时，意味着 只有一项组成，即 且 ，所以,（2）部分分式展开法将 分解成最简单形式，然后查Z变换表，得 。,的一般形式： （3.8）（a）当 无重根，则 可写成几个分式之和，即 （3.9） 系数可以按下式求得 （3.10）,（b）当 有重根，设 为r阶重根,而 ， ， ， 为单根，则 可表示为 （3.11）,例3.3 已知 ，求,（3.12）,查Z变换表，得,（3）留数计算法若已知连续时间
3、函数 的拉氏变换式 及其全部极点 。设 为r 阶重极点，其余 为单极点，利用留数公式计算，得,3. Z变换的基本性质,为了计算方便起见，引入Z变换的基本性质。 （1）线性定理,（2）实域位移定理（a）右位移（延迟）定理 （3.14）其中n为正整数。,按定义令 ，当 时 时， ，所以可写成,证明：,（b）左位移（超前）定理 （3.15）,证明：令 ，当 时， ，代入上式故 当所有初始条件为零时，,（3）复域移位定理 （3.17）其中a为常数,证明： 令 ， ，则 代入 ，得,证明：,（5）终值定理 （3.20）,证明： ，即,（6）卷积定理,卷积定义：,如果：,则：,证明：,根据移位定理：,4.
4、 Z反变换,（1）定义,注意：Z反变换的结果只包含在采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系。,（2）Z反变换的求法,例3.5 已知 求,（a）长除法因为Z变换式为 的幂级数，故 的系数即为采样时刻的 ，例如，,得 为 ， ， ， ，,（b）部分分式展开法,（3.23）得 （3.24）,将 用部分分式法分解成最简单形式，然后查表求反变换，通常对有一个零点，即分子有一个Z因子时，等号两边同时除以z，得 （3.22）其中 是 的极点，系数 可用下式求得,当 有重根时，部分分数形式及系数计算与（3.11）和（3.12）相同。,例3.7 求下式的Z反变换,解：求 特征方程式的根 （2重根）,( 为 , 为 ） 其中 采样信号,（c）留数法,Z变换 的反变换 可利用 在 全部极点上的留数之和求得，即 （3.21）其中n是 的极点数。,反演：,若 的极点中有r阶重极点 ，而 为单极点，则该极点的留数计算式如下：,例3.6 已知 求,解： 有3个极点 ， ， ，,
