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1、机械控制工程基础,任课教师：伍 新,第二章 物理系统的数学模型,Part 2.1 拉氏变换及其反变换,Part 2.1.1 拉氏变换的定义,设函数f(t)满足： 1f(t)实函数； 2当t0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,高等函数初等函数,指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数,Part 2.1.2.1 拉氏变换的计算,指数函数的拉氏变换,三角函数的拉氏变换,幂函数的拉氏变换,阶跃函数的拉氏变换,单位脉冲函数拉氏变换,单位速度函数的拉氏变换,单位加速度函数拉氏变
2、换,Part 2.1.2.3 拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,微分定理,原函数的高阶导数 象函数中s的高次代数式,多重微分,积分定理,多重积分,位移定理,延时定理,变量置换法,终值定理,初值定理,卷积定理,条件： 分母多项式能分解成因式,Part 2.1.2.2 拉氏反变换方法,部分分式法的求取拉氏反变换,1. 若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆变换。 解：,例3.,2. 拉式反变换部分分
3、式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和。,为求 将上式两端同乘 , 这个等式在s为任意数值时均成立，然后令 则 左端存在 ，与A(s)中的 约去！ 将 从1算到 ,便可确定所有的待定系数，于是,根据结论有,（2）情况2:F(s)有共轭极点,若A(S)含有一个或一个以上关于变量S的二次三项式，且二次三项式的根为两个共轭复根时，例如 其中当二次三项式的判别式 时，其根必为两个共轭复根，原函数必含振荡函数，此时可将二次三项式配方为 然后根据拉普拉斯变换表中的“第16和17变换对”进行部分分式展开。,（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(
4、s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。 那么,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Part 2.1.3 拉氏变换求解线性微分方程,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。,在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,Part 2.1.4 传递函数的定义,输入量施加于系统之前，
5、系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0,初始条件为零时 微分方程拉氏变换,系统的传递函数,系统传递函数的一般形式,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,特征方程,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函
6、数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。 零点用“O”表示 极点用“”表示,零、极点分布图,g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）,单位脉冲响应,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。,结论,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数
7、对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,Part 2.2 物理系统的数学模型,Part 2.2.1 数学模型的定义,系统示意图,系统框图,Remember 恒温箱自动控制系统?,Part 2.2.1 数学模型的定义,系统框图,t u2 u ua n v u t,由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到
8、最后的平衡状态-稳定运动,Part 2.2.1 数学模型的定义,数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程,解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建立数学模型的方法：,数学模型的形式,时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 复数域： 传递函数 结构图 频率域： 频率特性,数学模型的准确性和简化,Part 2.2.2 建立数学模型的基础,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平
9、衡定律,微分方程 （连续系统）,差分方程 （离散系统）,线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性,机械运动系统的三要素,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 B,质量 M,弹簧 K,机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量,其传递函数,机械旋转系统,复杂机械系统,取M1为分离体，根据牛顿定律有：,其中,取M2为分离体，根据牛顿定律有：,复杂机械系统,其中,电气系统三元件,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,RLC 串联网络电路,其传递函数,相似物理系统,Part 2.2.3 提取数学模型的步骤,划分环节 写出每环节或某一环节(元件) 运动方程式
10、 消去中间变量 写成标准形式,由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）,划分环节,按功能（测量、放大、执行）,写出每或一环节(元件) 运动方程式,找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。,写成标准形式,例如微分方程中， 将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。,建立数学模型总结： （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程； （2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学
11、定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化； （3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。,折算转动惯量 折算力矩 折算阻尼系数,2级减速齿轮传动系统,例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t) 。,解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：,整理得：,令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得,该网络的数学模型是一
12、个二阶线性常微分方程。,例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。,解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有 ：,其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出,式中 k 弹簧系数 f 阻尼系数,整理且标准化,令 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。,得,例2-3 电枢控制的他激直流电动机如图所示，电枢输入电压ua(t)，电动机输出转角为 。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数
13、，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。,解：,电枢回路电压平衡方程为,ce为电动机的反电势系数,力矩平衡方程为,式中 为电动机电枢的转动惯量,为电动机的力矩系数,整理得,无量纲放大系数,电机转速,电磁时间常数,机电时间常数,时间常数,电机传递系数,整理得,一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为 :,或,Part 2.3 非线性数学模型的线性化,微分方程的线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进
14、行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。,2.3.1 常见非线性模型,数学物理方程中的线性方程： 未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量,针对时间变量的常微分方程： 线性方程指满足叠加原理,叠加原理： 可加性 齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,常见非线性情况,单摆(非线性),是未知函数 的非线性函数， 所以是非线性模型。,液面系统(非线性),是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,2.3.2 线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分
15、析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。,非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。,2.3.3 线性化方法,以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。,增量 （微小偏差法）,假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程 局部线性增量方程,假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数,当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成,其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。,增量方程,增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均
