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1、备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列三1 (本小题满分 13 分)如图,已知双曲线 C: 的右准线 与xaybab210(), l1一条渐近线 交于点 M,F 是双曲线 C 的右焦点,O 为坐标原点.l2(I)求证: ;O(II)若 且双曲线 C 的离心率 ,求双曲线 C 的方|F1e62程;(III)在(II)的条件下,直线 过点 A(0,1)与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q 且 P 在l3A、Q 之间,满足 ,试判断 的范围,并用代数方法给出证明 .PQ解:(I) 右准线 ,渐近线l12: xacl2: ybax,MacbF()()2 220, , , , OMacb()2,
2、Facbac()()22, ,3 分OOF 220(II) ebaeab621222, ,|()MFcbcba1 142 22, ,双曲线 C 的方程为: 7 分xy21(III)由题意可得 8 分0证明:设 ,点l3: ykxPQxy()()12, , ,由 得x21()240k与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Ql3 1206120412210212kkxkk()11 分,得APQxyxy, , ,()()121x12()()14246112122kk,20422kk, , ()()14102的取值范围是(0,1 ) 13 分2 (本小题满分 13 分)已知函数 ,fxxnfnnxnN
3、()()(*)011,数列 满足anfN()*(I)求数列 的通项公式;(II)设 x 轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ,求ayfx() Sa()0;SnN()(*1(III)在集合 ,且 中,是否存在正整数 N,使得不等式MkZ|2, 1050k对一切 恒成立?若存在,则这样的正整数 N 共有多少个?并求出满足aSnn05()条件的最小的正整数 N;若不存在,请说明理由 .(IV )请构造一个与 有关的数列 ,使得 存在,并求出这个极限值.anbnlim()nnb12解:(I) n*fff()()()()11 分 f()1023fnn()1将这 n 个式子相加,得f n()
4、 ()02312fn()123 分aNn(*)(II) 为一直角梯形( 时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为S()1n1,高为 1ff(1,nfnfan)()()(2216 分)(III)设满足条件的正整数 N 存在,则nnn()12052105210又 M 8298, , , , , , , 均满足条件N019, , ,它们构成首项为 2010,公差为 2 的等差数列.设共有 m 个满足条件的正整数 N,则 ,解得01298()mm495中满足条件的正整数 N 存在,共有 495 个, 9 分Min01(IV )设 ,即ban1n21()()则 nnn12 34121 ()()显
5、然,其极限存在,并且 10 分lim()limnnb122 注: (c 为非零常数) , 等都能使banbbqnanan()(|)120121,存在.lim()nn1219. (本小题满分 14 分)设双曲线 的两个焦点分别为 ,离心率为 2.yax231F12、(I)求此双曲线的渐近线 的方程;l12、(II)若 A、B 分别为 上的点,且 ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明、 512|AB轨迹是什么曲线;(III )过点 能否作出直线 ,使 与双曲线交于 P、Q 两点,且 .若存在,N()10, l OPQ0求出直线 的方程;若不存在,说明理由.l解:(I) eca242,ca
6、31, ,渐近线方程为 4 分双 曲 线 方 程 为 yx2 yx3(II)设 ,AB 的中点AB()()12, , , M,25013322331021211 1221122|()()()()()FBcxyyxxyyyx又 , , ,0753222()()y, 即则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 ,短轴长为 的椭圆.(9 分)103103(III)假设存在满足条件的直线 l设 lykxlPxyQxy: , 与 双 曲 线 交 于 , 、 ,()()()112 OPQxykxi010112212()()由 得则 ,yxkxki ()()()36306112221222由(
7、i) (ii)得 k0k 不存在,即不存在满足条件的直线 . 14 分l3. (本小题满分 13 分)已知数列 的前 n 项和为 ,且 对任意自然数都成立,其中 m 为aSNn()*Smann()1常数,且 .m1(I)求证数列 是等比数列;n(II)设数列 的公比 ,数列 满足:aqfm()bnabfn113, (),试问当 m 为何值时,()*nN2, li(lg)lim(1234成立?bn1解:(I)由已知 San11()()(2)mnn()由 得: ,即 对任意 都成立2amn11()amnn1N*man为 常 数 , 且即 为 等 比 数 列 分 51(II)当 时, ama11()
8、abIqfbfbnNn11132, 从 而由 ( ) 知 ,()* 1113219bbbnbnNnnnn, 即为 等 差 数 列 , 分()()*am1 li(lg)lilgl)limnbnmbnn2131452231由题意知 , 13 分lgm10109,4 (本小题满分 12 分)设椭圆 的左焦点为 ,上顶点为 ,过点 与 垂直的直线分别交椭圆)(2bayxFAF和 轴正半轴于 , 两点,且 分向量 所成的比为 85PQAQ(1)求椭圆的离心率;(2)若过 三点的圆恰好与直线 : 相切,求椭圆方程FA, l03yx解:(1)设点 其中 ),0(),0cx),(2bAa由 分 所成的比为 8
9、5,得 ,2 分PQ)135,0xP ,4 分aax21)3()18(0220而 ,AQFbxAbcF),0 ,5 分Qc2020,由知 3,222acab 6 分1.03ee(2)满足条件的圆心为 ,)0,2(cbO,8 分)0,(,22 cOcacb圆半径 10 分acr2由圆与直线 : 相切得, ,l03yxac2|3|又 椭圆方程为 12 分,21,2baca 142yx5 (本小题满分 14 分)(理)给定正整数 和正数 ,对于满足条件 的所有无穷等差数列 ,试求nban21 na的最大值,并求出 取最大值时 的首项和公差1221naay y(文)给定正整数 和正数 ,对于满足条件
10、的所有无穷等差数列 ,试求bn21 n的最大值,并求出 取最大值时 的首项和公差1221nny ya(理)解:设 公差为 ,则 3 分ad11,danndanynn)21()()114 分)2)(12)(11anann7 分)31n又 2121,naba ,当且仅当 时,等号49)3(3221 bnn 231na成立11 分 13 分8)49()(21bayn当数列 首项 ,公差 时, ,bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)((文)解:设 公差为 ,则 3 分na 11,adann)2)(12)()1( )(1122 ndadnanynn,6 分)3()( 111 nn又 21
11、121,nnaba 49)(33 22 bn 当且仅当 时,等号成立11 分1 13 分8)49(1)(21bayn当数列 首项 ,公差 时, bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)(6 (本小题满分 12 分)垂直于 x 轴的直线交双曲线 于 M、N 不同两点, A1、A 2 分别为双曲线的左顶点和右顶22yx点,设直线 A1M 与 A2N 交于点 P(x 0,y 0)()证明: ;0为 定 值()过 P 作斜率为 的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值.02yx解()证明: )0,2(),(),(),(111 AN则设211 xyMA的 方 程 为直 线直
12、线 A2N 的方程为 4 分)(1x,得 )2(21y分为 定 值 的 交 点与是 直 线 即82),( 2),(,0221221yxNAMPyx() 022),(2 00200 yxyxxyyl 整 理 得结 合的 方 程 为10 分20202014xd于 是 12020 ydyyy当 12 分1,1200取 最 小 值时 d7 (本小题满分 14 分)已知函数 xfsin)(()若 ;)(,0的 值 域试 求 函 数 fx()若 );32(3)2:, xfxf求 证()若 的大小关系)32(,1()1(, xfZkkkx 与猜 想(不必写出比较过程).解:() 为 增 函 数时当 )(,0cos)(,0( xfxf分的 值 域 为即 求 得所 以 上 连 续在 区 间又 4,0)( )()( xf ffff ()设 ,)32(32xfxfg 32sin3)(2)( xxfg即6 分cos(1)xxg得由 ,0)()32,.)(,0)(为 减 函 数时当 xg 分为 增 函 数时当 8)(,0)(,( xgx分因 而 有对 的 最 小 值为则 上 连 续在 区 间 10)32(3)(2,0),( xfxfgxg()在题设条件下,当 k 为偶数时 )32(3)(xfxf当 k 为奇数时 14 分23)(2fxf