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1、备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列三1 （本小题满分 13 分）如图，已知双曲线 C： 的右准线 与xaybab210()， l1一条渐近线 交于点 M，F 是双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点.l2（I）求证： ；O（II）若 且双曲线 C 的离心率 ，求双曲线 C 的方|F1e62程；（III）在（II）的条件下，直线 过点 A（0，1）与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q 且 P 在l3A、Q 之间，满足 ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明 .PQ解：（I） 右准线 ，渐近线l12： xacl2： ybax，MacbF()()2 220， ， ， ， OMacb()2，
2、Facbac()()22， ，3 分OOF 220（II） ebaeab621222， ，|()MFcbcba1 142 22， ，双曲线 C 的方程为： 7 分xy21（III）由题意可得 8 分0证明：设 ，点l3： ykxPQxy()()12， ， ，由 得x21()240k与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Ql3 1206120412210212kkxkk()11 分，得APQxyxy， ， ，()()121x12()()14246112122kk，20422kk， ， ()()14102的取值范围是（0，1 ） 13 分2 （本小题满分 13 分）已知函数 ，fxxnfnnxnN
3、()()(*)011，数列 满足anfN()*（I）求数列 的通项公式；（II）设 x 轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求ayfx() Sa()0；SnN()(*1（III）在集合 ，且 中，是否存在正整数 N，使得不等式MkZ|2， 1050k对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足aSnn05()条件的最小的正整数 N；若不存在，请说明理由 .（IV ）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值.anbnlim()nnb12解：（I） n*fff()()()()11 分 f()1023fnn()1将这 n 个式子相加，得f n()
4、 ()02312fn()123 分aNn(*)（II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为S()1n1，高为 1ff(1，nfnfan)()()(2216 分)（III）设满足条件的正整数 N 存在，则nnn()12052105210又 M 8298， ， ， ， ， ， ， 均满足条件N019， ， ，它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列.设共有 m 个满足条件的正整数 N，则 ，解得01298()mm495中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个， 9 分Min01（IV ）设 ，即ban1n21()()则 nnn12 34121 ()()显
5、然，其极限存在，并且 10 分lim()limnnb122 注： （c 为非零常数） ， 等都能使banbbqnanan()(|)120121，存在.lim()nn1219. （本小题满分 14 分）设双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率为 2.yax231F12、（I）求此双曲线的渐近线 的方程；l12、（II）若 A、B 分别为 上的点，且 ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明、 512|AB轨迹是什么曲线；（III ）过点 能否作出直线 ，使 与双曲线交于 P、Q 两点，且 .若存在，N()10， l OPQ0求出直线 的方程；若不存在，说明理由.l解：（I） eca242，ca
6、31， ，渐近线方程为 4 分双 曲 线 方 程 为 yx2 yx3（II）设 ，AB 的中点AB()()12， ， ， M，25013322331021211 1221122|()()()()()FBcxyyxxyyyx又 ， ， ，0753222()()y， 即则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 ，短轴长为 的椭圆.（9 分）103103（III）假设存在满足条件的直线 l设 lykxlPxyQxy： ， 与 双 曲 线 交 于 ， 、 ，()()()112 OPQxykxi010112212()()由 得则 ，yxkxki ()()()36306112221222由（
7、i） （ii）得 k0k 不存在，即不存在满足条件的直线 . 14 分l3. （本小题满分 13 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且 对任意自然数都成立，其中 m 为aSNn()*Smann()1常数，且 .m1（I）求证数列 是等比数列；n（II）设数列 的公比 ，数列 满足：aqfm()bnabfn113， ()，试问当 m 为何值时，()*nN2， li(lg)lim(1234成立？bn1解：（I）由已知 San11()()（2）mnn()由 得： ，即 对任意 都成立2amn11()amnn1N*man为 常 数 ， 且即 为 等 比 数 列 分 51（II）当 时， ama11()
8、abIqfbfbnNn11132， 从 而由 （ ） 知 ，()* 1113219bbbnbnNnnnn， 即为 等 差 数 列 ， 分()()*am1 li(lg)lilgl)limnbnmbnn2131452231由题意知 ， 13 分lgm10109，4 （本小题满分 12 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线分别交椭圆)(2bayxFAF和 轴正半轴于 ， 两点，且 分向量 所成的比为 85PQAQ（1）求椭圆的离心率；（2）若过 三点的圆恰好与直线 ： 相切，求椭圆方程FA, l03yx解：（1）设点 其中 ),0(),0cx),(2bAa由 分 所成的比为 8
9、5，得 ，2 分PQ)135,0xP ，4 分aax21)3()18(0220而 ，AQFbxAbcF),0 ，5 分Qc2020,由知 3,222acab 6 分1.03ee（2）满足条件的圆心为 ，)0,2(cbO，8 分)0,(,22 cOcacb圆半径 10 分acr2由圆与直线 ： 相切得， ，l03yxac2|3|又 椭圆方程为 12 分,21,2baca 142yx5 （本小题满分 14 分）（理）给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有无穷等差数列 ，试求nban21 na的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公差1221naay y（文）给定正整数 和正数 ，对于满足条件
10、的所有无穷等差数列 ，试求bn21 n的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公差1221nny ya（理）解：设 公差为 ，则 3 分ad11,danndanynn)21()()114 分)2)(12)(11anann7 分)31n又 2121,naba ，当且仅当 时，等号49)3(3221 bnn 231na成立11 分 13 分8)49()(21bayn当数列 首项 ，公差 时， ，bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)(（文）解：设 公差为 ，则 3 分na 11,adann)2)(12)()1( )(1122 ndadnanynn，6 分)3()( 111 nn又 21
11、121,nnaba 49)(33 22 bn 当且仅当 时，等号成立11 分1 13 分8)49(1)(21bayn当数列 首项 ，公差 时， bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)(6 （本小题满分 12 分）垂直于 x 轴的直线交双曲线 于 M、N 不同两点， A1、A 2 分别为双曲线的左顶点和右顶22yx点，设直线 A1M 与 A2N 交于点 P（x 0，y 0）（）证明： ;0为 定 值（）过 P 作斜率为 的直线 l，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的最小值.02yx解（）证明： )0,2(),(),(),(111 AN则设211 xyMA的 方 程 为直 线直
12、线 A2N 的方程为 4 分)(1x，得 )2(21y分为 定 值 的 交 点与是 直 线 即82),( 2),(,0221221yxNAMPyx（） 022),(2 00200 yxyxxyyl 整 理 得结 合的 方 程 为10 分20202014xd于 是 12020 ydyyy当 12 分1,1200取 最 小 值时 d7 （本小题满分 14 分）已知函数 xfsin)(（）若 ;)(,0的 值 域试 求 函 数 fx（）若 );32(3)2:, xfxf求 证（）若 的大小关系)32(,1()1(, xfZkkkx 与猜 想（不必写出比较过程）.解：（） 为 增 函 数时当 )(,0cos)(,0( xfxf分的 值 域 为即 求 得所 以 上 连 续在 区 间又 4,0)( )()( xf ffff （）设 ，)32(32xfxfg 32sin3)(2)( xxfg即6 分cos(1)xxg得由 ,0)()32,.)(,0)(为 减 函 数时当 xg 分为 增 函 数时当 8)(,0)(,( xgx分因 而 有对 的 最 小 值为则 上 连 续在 区 间 10)32(3)(2,0),( xfxfgxg（）在题设条件下，当 k 为偶数时 )32(3)(xfxf当 k 为奇数时 14 分23)(2fxf
