[经济学]3第三章 收益与风险

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1、第三章 收益与风险,第三章 收益与风险,第一节 收益率 第二节 债券定价模型 第三节 风险及其度量 第四节 收益与风险的统计分析 第五节 市场投资组合、特征线 第六节 -因子,第一节 收益率,一、收益率的定义 在进行证券分析时， 对于证券市场上交易的每一种证券， 一般都是通过其收益率分析来评价证券的绩效。我们有如下几种收益率的定义。,第一节 收益率,1.简单收益率 :表示t时刻证券价格 单位价格的变化率称为收益率,第一节 收益率,2.多期收益率 表示t时刻的证券的期收益率 多期收益率和单期收益率的关系如下：,第一节 收益率,3.对数收益率 用价格比的对数定义的收益率，称为对数收益率， 记为 对

2、数收益率的性质： 1）对数收益率的取值范围扩展到整个实数域，更适 合于对证券的行为进行建模。 2）多期对数收益率只是单期对数收益率的和，若单 期对数收益率服从正态分布，则多期收益率也服从。,第一节 收益率,二、收益率的分布 收益率是证券价格行为的重要度量，收益率的分布通常由期望值与标准差描述。分布的期望值是这个分布变量的一阶原点矩，方差为二阶中心矩，标准差为方差的平方根。,第一节 收益率,当收益率服从正态分布时可将其表示为,第一节 收益率,对于正态分布，有几个更重要的数字特征,均值,偏度,方差,峰度,第一节 收益率,尽管短期的IID正态模型容易处理，但是这种模型至少存在两大缺陷： 其一，大部分

3、证券以有限的负债形式表现，所以投资者能够意识到的最大损失是他的全部投资。这就意味着可获取的最小净收益为-1或-100%。但是由于正态分布的支撑是整个实轴，因此最低下限为-1，显然违反正态性。,第一节 收益率,其二，如果单一时期收益被认为是正态的，那么多时期的收益就不是正态的，因为多时期收益是所有单一时期收益的乘积。即使单一时期收益正态收益之和是正态的，而单一时期收益之和在经济上却没有任何意义。现在，对数正态模型已经成为金融资产定价理论的载体，对数正态分布表示为,第一节 收益率,图3-1 正态分布概率密度图 图3-2 对数正态分布概率密度图,第一节 收益率,对数正态分布的四个数字特征分别为：,均

4、值 方差 偏度 峰度,第一节 收益率,然而，在人们用正态和对数正态对美国股市研究的时候，人们发现美国1962-1994的股票指数日收益率的样本偏度为负，而单只股票的日收益率偏度是正或接近于0 。对于峰度，无论是股票指数还是单只股票，日收益率的超额峰度的样本估计都为正而且非常的大。这说明历史收益率数据的分布比正态分布具有明显的尖峰厚尾性。下图给出了1926-1997年市场的数据：,第一节 收益率,数列 算术平均 风险溢价 标准差 普通股 13.0% 9.2% 20.3% 小公司股 17.7 13.9 33.9 公司长期债券 6.1 2.3 8.7 政府长期债券 5.6 1.8 9.2 政府中期债

5、券 5.4 1.6 5.7 美国国库券 3.8 3.2 通货膨胀 3.2 4.5,第一节 收益率,图3-3 1926-1997各种投资的年总收益率,普通股 小公司股,公司长期债权 政府长期债权,第一节 收益率,政府中期债券 美国国库券,通货膨胀,容易见到，这些收益率序列分布的形状异于正态分布，尤其 在尾部有很大的区别，人们称之为厚尾现象，这是金融时间 序列的特征之一。,第一节 收益率,三 、 在多种不同资产的情况下，财富的总收益率。 用t表示时刻。=0， 1， ， T， 称为离散时间， 如果取值实数区间0,t上的任意值， 称为连续时间，t=0为期初，t=T 为期末。 设某投资者在 t 时刻的财

6、富是 ， 并分为 n 种证券持有， 在时刻 t 第 i种证券的持有量为 ，其价格为 ， 则在时刻 t 有以下恒等式:,第一节 收益率,两边除以 ， 令 ， 则 称为在时刻 t 在资产 i上的投资比重或权重； 如果 称资产 i为卖空。 离散时间下价格比 称为资产在 时间的收益。显然，如果各资产的价格被确定，则收益率和收益一同被确定。,第一节 收益率,事实上： 当 t=0时， 若未来的价格是 ， 则 ， 以后的收益(率)也是 。在连续时间下， 我们有收益(率)与价格关系：,第一节 收益率,经推导，得到,第一节 收益率,在t,T期间内， 资产的收益率为 这时 是该资产到T时的增长率 表示从t到T的收

7、益。如果 是常数，则,第一节 收益率,若在期初t=0形成投资分配比率， 并实行交易到任意时刻 ， 即对每个 i , 其中 是对资产的最初投资， 则 是资产 i 的持有数量， 在时刻 t 资产 i 价值为,第一节 收益率,于是，时刻 t 时的财富便为 于是其收益率为,第一节 收益率,可见总财富的收益率为各资产收益率按投资数量比的加权平均值。这样，如果交易策略不变，则对于各资产收益率的概率分布，财富概率分布是确定的。,返回,第二节期望效用原理与均值方差准则,效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性和连续性时，则存

8、在效用函数且消费者可以按照效用最大化进行消费选择。,第二节期望效用原理与均值方差准则,当选择对象包括不确定因素情形时，我们称为随机消费，冯诺伊曼和莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一致性条件假设， 由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消费情形下的最佳选择。,第二节期望效用原理与均值方差准则,一、期望效用原理 所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数 使得随机消费 优于随机消费 的充分必要条件为 ， 这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。,第二节期望效用原理与均值方差准则,设在同一决策问题中， 各备选策略一旦实施， 便可能出现多

9、种结果，用 表示决策者可能选择的各种策略对应的决策问题的全部可能后果， 分别表示选择某一策略 时后果 出现的概率，其中 。,第二节期望效用原理与均值方差准则,定义3.1 设 为一事态体， 它表示在选定策略 时， 后果 以概率 出现，后果 以概率 出现，后果 以概率 出现。 所有事态体组成的集合记为 R，称为事态体集合。,第二节期望效用原理与均值方差准则,公理1 下面三个关系式成立且仅成立一个： 这条公理保证了R中所有事态体都可以成对比较。 公理2 如果 这条公理说明偏好关系具有传递性,第二节期望效用原理与均值方差准则,公理3 如果 当且仅当对 于任何 （0a1）满足 这条公理说明事态体 和 优

10、先关系取决于 和 的偏好关系。,第二节期望效用原理与均值方差准则,公理4 如果 ，则存在a,01a ,使得 以上这四条公理也统称为理性行为公理。,第二节期望效用原理与均值方差准则,定义3.2 称R上的实值函数u为一效用函数，如果它满足 对于任意 ，当 时， 当 时， 。 (2) 如果,第二节期望效用原理与均值方差准则,效用函数存在定理 在R上偏好关系 如果满足公理14， 则在R上存在效用函数u， 它和 一致，并有除线性变换 外还是惟一的。 设 ，由于 故 如果记 则,第二节期望效用原理与均值方差准则,由效用函数的线性有： 其中即以 概率1选择结 果的 期望效用。 由于效用函数与决策者对R中各元

11、素的偏好关系一致， 因此决策者必将选择一策略使后果的期望效用极大。,第二节期望效用原理与均值方差准则,二、 一般的效用函数 每个递增的、 凹效用函数意味着风险回避。然而， 我们渴望效用函数具有一些好的性质，基于这个原因， 下面介绍风险理论中常用的效用函数。,第二节期望效用原理与均值方差准则,1. 二次效用函数 二次效用函数由下式给定： 显然,第二节期望效用原理与均值方差准则,因为U的凹性， 所以必有0。注意到函数U是W的递增函数， 因此不应太大。记 是 的最大值，则应有 ，即有 。 当满足这些约束时， 可以得到,第二节期望效用原理与均值方差准则,2.对数效用函数 对数效用函数由下式给出： 要使

12、函数有意义必有 。对于这个效用函数我们有 因此是 财富的递减函数。记 ，则 也是非递减函数。,第二节期望效用原理与均值方差准则,3.幂函数 幂函数的一般表达式为 直接有 因为 ，所以效用函数是财富的递增函数。进一步， 有,第二节期望效用原理与均值方差准则,于是风险回避意味着1；=1意味着风险中立。由上面的结果可以推出 由上式可以看出如果，那么幂函数和对数函数具有相同的风险回避系数。,第二节期望效用原理与均值方差准则,4.负指数函数 这类函数可以写为 U的符号没有什么特殊的意义。但是U的符号应该是正的。因为 , 所以只要 使 就可以保证这一点。经过计算得到：,第二节期望效用原理与均值方差准则,有

13、趣的是， 我们注意到前面介绍的所有效用函数可以归成一类， 称为“双曲绝对风险回避效用函数”。一般形式如下： （3.10） 其中函数的定义域为使得括号中的值为正的那些 值，即 满足,第二节期望效用原理与均值方差准则,对(3.10)式求导可得 进一步， 有,第二节期望效用原理与均值方差准则,注意到的分母是的线性函数。我们定义 称为风险忍耐限度， 则对于这类效用函数有 它是 的线性函数。所以这类效用函数也称为线性风险忍耐效用函数。,第二节期望效用原理与均值方差准则,(3.10)所表达的函数形式包含了前面所讨论的所有效用函数。通过对参数a, b和的特殊选择就可以表示不同的效用函数。见表3.1。,第二节期望效用原理与均值方差准则,三、 均值方差准则 在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差(标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点， 它成为投资分析中最著名的有效准则之一。,第二节期望效用原理与均值方差准则,按照均值方差准则， 投资者的期望效用就是预期收益分布的平均值以