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1、第3章 空间力系,举例,实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,3.1 空间力的分解及其投影,若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角, 则用直接投影法(一次投影法),当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时, 可把力F先投影到坐标平面Oxy上, 得到力矢量Fxy, 然后再把这个力投影到x 、y轴上, 这叫间接投影法(二次投影法)。,这里要强调指出，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影Fxy则是矢量。,3.2 力对轴的矩,3.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢(补充),空间力对点的矩要考虑三个方面: 力矩的大小、指向和力矩作
2、用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示。其模表示力矩的大小(Fh); 指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则); 方位表示力矩作用面的法线。,h,4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢,以r表示力作用点A的矢径, 则,在图示坐标系中有,3.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢,力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为,x,y,z,O,F,MO(F),r,A(x,y,z),h,B,j,i,k,3.2.2 力对轴的矩,3.2.2 力对轴的矩,力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。即:,符号规定：从z轴正向往
3、负向看，若力使刚体逆时针转动取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。,同样，力对轴之矩亦有合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。即：,由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。,3.2.3 力对轴之矩的解析表达式,x,y,z,O,F,Fx,Fy,Fz,A(x,y,z),B,Fx,Fy,Fxy,a,b,x,y,设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx, Fy, Fz, 力作用点A的坐标为(x,y,z), 则,同理可得其它两式。故有,比较力对之矩和力对轴之矩的解析表达式得:,即: 力对点的矩矢在通
4、过该点的某轴上的投影, 等于力对该轴之矩。,3.2.4 力对点之矩与力对过该点之轴的矩的关系,例3-2: 求力F 在三轴上的投影和对三轴的矩。,解:,y,x,z,F,j,q,b,c,a,空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系, 如图。,3.3.1 空间任意力系的合成,3.3 空间力系的合成与平衡,空间中力偶为矢量,空间汇交力系可合成一合力FR:,力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,3.3.1 空间力系向一点的简化,空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:,力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。,主矢的大
5、小和方向为:,或,根据合力矩定理,得到主矩在三个方向的投影为:,于是主矩的大小和方向可由下式确定:,3.3 空间力系的合成与平衡,3.3.2 空间任意力系的平衡方程,FR0, MO 0 =,空间任意力系平衡的必要与充分条件为: 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零, 且各力对三个轴之矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的平衡方程。,3.3 空间力系的合成与平衡,不失一般性，假定取z 轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个恒为零，即,因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个,分析:空间平行力系的平衡方程,例3-2 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住
6、，并在A点用球铰约束，G、A、H在地面上，臂杆的D端悬吊的重物重P=20 kN。求两绳的拉力和支座A的约束反力。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系。,列平衡方程如下：,联立求解得：,例3-3 用六根杆(两端为球铰)支撑正方形板ABCD如图所示，力P 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。,解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,例3-4 一车床的主轴如图所示, 齿轮C半径为100 mm, 卡盘D夹住一半径为50 mm的工件, A为向心推力轴承, B为向心轴承。切削时工件等速转动, 车刀给工件的力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N, 齿轮C
7、在啮合处受力为Q, 作用在齿轮C的最低点，压力角a20。不考虑主轴及其附件的质量, 试求Q的大小及A、B处的约束力。,A,FAx,FAy,FAz,FBz,FBx,Px,Pz,Py,B,y,x,z,50,200,100,解: 取主轴及工件为研究对象。,向心轴承B的约束反力为FBx和FBz, 向心推力轴承A处约束反力有FAx、FAy、FAz, 其中FAy 起止推作用。主轴共受九个力作用, 是空间一般力系。,Q,例题3-4 如图所示三轮小车，自重 = 8 kN，作用于E点，载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。,以小车为研究对象，主动力和约束力组成空间平行力系，受力分
8、析如图。,列平衡方程,解：,解方程得,3.4.1 平行力系中心,平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关, 而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。,3.4 重心和形心,由合力矩定理：,如果令F0是力作用线方向的单位矢量,则将上式代入（1）式得,（1）,通常采用投影式求出直角坐标分量,去掉F0这个单位矢量,重力是地球对物体的吸引力, 如果将物体看作由无数的质点组成, 则重力便构成空间汇交力系。,3.4.2 重心,由于物体的尺寸比地球小得多, 因此可近似地认为重力是个平行力系, 这力系的合力就是物体的重量。,不论物体如何放置,
9、 其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点, 这个点称为物体的重心。,对于均质物体、均质板或均质杆, 其重心坐标分别为:,3.4.2 重心,均质物体的重心就是几何中心, 即形心。,均质物体,均质板,均质杆,3.4.3 确定物体重心的方法,1 简单几何形状物体的重心,如果均质物体有对称面, 或对称轴, 或对称中心, 则该物体的重心必相应地在这个对称面、或对称轴、或对称中心上。简单形状物体的重心可从相应工程手册上查到。,3.4.3 确定物体重心的方法,2 用组合法求重心,如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成, 而这些简单物体的重心是已知的, 那么整个物体的重心可由下式求出。,1）分割法,2）负面积法,若在物体或薄板内切去一部分(例如有空穴或孔的物体), 则这类物体的重心, 仍可应用与分割法相同的公式求得, 只是切去部分的体积或面积应取负值。,例: 求图示均质板重心的位置。,解一 分割法,建立图示坐标系,将薄板分为两部分, 其重心分别为C1和C2,解二 负面积法,将薄板分为大、小两个正方形, 其重心分别为C1和C2,3 用实验方法测定重心的位置,a）悬挂法,（b） 称重法,则,若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？,有,要测得重心的高度,可将后轮抬起,测出相关数据,本章结束,
