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1、1,第四讲 全微分方程与积分因子,三、积分因子法,一、全微分方程与原函数,二、全微分方程判定定理与不定积分法,四、小结,2,定义:,即,若,例如,全微分方程 或恰当方程,是全微分方程，,一、全微分方程与原函数,的左端恰好是某个二元函数的全微分，,则称（1）为全微分方程或恰当方程， 称为（1）的一个原函数。,是方程的一个原函数。,3,容易证明，如果 是微分方程（1）的一个原函数，则（1）的通积分为,其中C为任意常数。,于是，求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。,例如,4,我们通过观察寻找方程的一个原函数。,对于一个一般的方程，怎样判断它是否是恰当方程呢？若是，又怎样求原函数？,5,二、
2、全微分方程判定定理与不定积分法,定理：设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上的单连通区域 D 内连续可微，那么方程(1)是全微分方程的充要条件是在 D 内恒成立,这是数学分析中的结论，我们不详细证明。,6,7,一般地，若 为全微分方程，则它的通积分为,从而求得一个原函数,8,解,是全微分方程,原方程的通解为,例2,9,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例3,10,定义:,问题: 如何求方程的积分因子?,3、积分因子法,前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程（）未必都是全微分方程，但其中有些则可利用积分因子化为全微分方程。,11,我们用反推的办法来
3、求积分因子,为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但对于某些特殊情况，上式可求解。,（2）为全微分方程,12,13,以上求积分因子的方法称为公式法。,14,思考与练习：,试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子,例1: 求解微分方程：,例2: 求解微分方程：,15,例3,解,则原方程化为,可积组合法,16,观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,17,受上述结论的启发通常我们经常可以选用的积分因子有：,这种方法给我们又提供了一种求解微分方程的方法-可积（微）组合法，请看下面的例子：,18,解,将方程左端重新组合,有,例4 求微分方程,原方程的通解为,19,解,将方程左端重新
4、组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例5 求微分方程,20,解1,整理得,A 常数变易法:,B 公式法:,例6,一题多解：,21,解2,整理得,A 用公式:,B 凑微分法:,22,C 不定积分法:,原方程的通解为,23,作业：P38 T1（1）（3）（5） , T2, T5,拓展思维训练题：,24,若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。,前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（ ）,一阶隐式微分方程是指,第六讲 一阶隐式方程的解法,例1: 试求解微分方程：,25,本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。,（1）不含 y （或 x
5、）的方程 （2）可解出 x 的方程 （3）可解出 y 的方程,若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。,26,1、若方程（1）不含y，即,27,例1,28,29,例2：,若方程（1）不含 x，即 则完全类似求解。,例3：,例4：,30,2、若可从方程（1）解出 x，即,解法：,这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出（1）的解。,31,例5,32,33,3、若可从方程（1）解出 y，即,解法：,34,35,36,例6,37,38,例7,39,40,41,小 结,（1）可解出 y 的方程 （2）可解出 x 的方程,（3）不含 x （或 y）的方程,* 借助于一些变量代换 ，可将隐式形式的方程化为显式方程。,* 借助于一些变量代换，将隐式形式的方程化为参数形式方程。,42,作业：P46 （2）（4）（6） (8) (10),
