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1、MATLAB在线性代数中的应用,1. 线性方程组的求解,2. 特征值、特征向量,MATLAB初步,1. 1 齐次线性方程组 AX=0,若A有n列，如果R(A)=n ,则X只有零解,若A有n列，如果R(A)n ,则X有无穷多解，求出其通解即可。,（1） 使用函数null,函数null用来求解零空间，即满足Ax=0的解空 间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）,格式:,% z的列向量是方程Ax=0的有理基,MATLAB初步,例 1 求解方程组的通解：,A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;,format rat %指定有理式格式输出，适用于 数据较少，要求精确的场合;,
2、B=null(A,r) %求解空间的有理基,MATLAB初步,得到：B = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1,syms k1 k2,X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解,pretty(X) %让通解表达式更加精美,于是，我们得到原线性方程组的解：,% 定义两个符号,MATLAB初步,求解的完整代码如下：,A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3; format rat; B=null(A,r); syms k1 k2; X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) pretty(X),MATLAB初步,（2） 使用函数rref,rref是用
3、来将一个矩阵化成行阶梯最简形，从而求解。,对上例，还可以使用如下方法求解：,B = 1 0 -2 -5/3 0 1 2 4/3 0 0 0 0,B=rref(A),请同学们编程将它的通解写出来!,MATLAB初步,1.3.2 非齐次线性方程组 AX=b,非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解， 若有解，再去求通解。,第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行 第二步；,因此，步骤为：,第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个 特解。,第二步：求AX=b的一个特解；,第三步：求AX=0的通解,MATLAB初步,利用矩阵除法求线性方程组的特解（或唯一解）,方程：Ax=b 解法：x
4、=Ab,在系数矩阵不满秩时，求特解可能存在误差,A=5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5; B=1 0 0 0 1; R_A=rank(A) %求秩 X=AB %求解,MATLAB初步,例2 求解方程组,有否解?,MATLAB初步,A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2;%输入系数矩阵A的值 % first,input the coefficient matrix A b=1 2 3; %输入b的值 B=A, b; %得到增广矩阵 n=4; %未知变量为4个 R_A=rank(A); %求得系数矩阵A的秩 R_
5、B=rank(B); %求得增广矩阵的秩 format rat %以有理数的形式显示数据 if R_A=R_B & R_A=n %判断有唯一解 disp(It has only one solution!) X=Ab %直接用除法求该唯一解. elseif R_A=R_B&R_An %判断有无穷解 disp(It has infinitely many solutions!) X=Ab %求特解 C=null(A,r) %求AX=0的基础解系 else X=equition no solve %判断无解，注意该处输出字符串X. end,例3 求解方程组的通解：,只需修改例2的系数矩阵和常数项向
6、量即可！,原方程组的通解为X=,+k2,+,k1,试用rref求解？,2 特征值与二次型,（1）特征值求解,函数 ：eig,d = eig(A) %求矩阵A的特征值d，以向量 形式存放d。,V,D = eig(A) %计算A的特征值对角阵D 和特征向量V，使AV=VD成立 %V已经被归一化为单位向量了,最常见的两种形式：,MATLAB初步,例 4：,求矩阵,的特征值和特征向量.,A=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; V,D=eig(A),V = -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015,MATLAB初步,D = -
7、1 0 0 0 2 0 0 0 2,特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T 和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T,即：特征值为1，2，2。,-1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T,MATLAB初步,(2)正交规范化,格式 B=orth(A) %将矩阵A正交规范化， B的列与A的列具有相同的空间，B的列向量 是正交向量，且满足：B*B = eye(rank(A)。,例 5 将矩阵,正交规范化。,A=4 0 0; 0 3 1; 0 1 3; B=orth(A) Q=B*B,MATLAB初步,则显示结果为 P = 1.0000 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.7071 Q = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000,MATLAB初步,
