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1、1,1.1 弦振动方程与定解条件,给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。,2,当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得,消去,并令,3,上式化为,这个方程称为弦的自由横振动方程。,在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力， 外力为零。,4,若还有外力作用到弦上，其方向垂直于,轴，,设其力密度(单位长度上弦受力)为,由于弦段,很小，,其上各点处的外力近似相等，,因此作用在该段上的外力近似地等于,5,同样应用牛顿第二定律，得,消去,并令,则得弦的强迫横振动方程,受到与弦垂直方向的力的作用时，弦运动为受迫振动。,6,弦振动方
2、程中只含有两个自变量,和,其中,表示时间，,表示位置。,由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为一维波动方程。,类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播），,它们的形式分别为,7,二、定解条件,对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量,所满足的方程还是不够的，还要附加,一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的,初始状态以及边界上的物理情况。,定解条件包括初始条件和边界条件。,初始条件：,表征某过程“初始”时刻状态的条件。,对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在“初始”时刻的位移和速度。,初始位移,初始速度,8,边界条件：,表征某过程的物理
3、量在系统的边界上所满足的物理条件。,对于弦振动问题而言，有三种基本类型：,1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）,弦的一端的运动规律已知，,为例，若以,表示其运动规律，,则边界条件可以表达为,特别的，,若,端被固定，则相应的边界条件为,非齐次边界条件,齐次边界条件,以,9,2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）,若弦的一端（例如,）在垂直于,轴的直线,上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界,成为自由边界.,根据边界微元右端的张力沿垂直方,向的分量是,，得出在自由边界时成立,若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函数，,则相应的边界条件为,非齐次边界条件,齐次边界条件,10
4、,3、第三类边界条件（鲁宾Robin）,若弦的一端（例如,）固定在弹性支承上，,并且弹性支承的伸缩符合胡克定律.,为,则u在端点的值表示支承在该点的伸长。,弦对支承拉力的垂直方向分量为,若支承的位置,由胡克定律得,因此在弹性支承的情形，边界条件归结为,11,在数学中也可以考虑更普遍的边界条件,非齐次边界条件,齐次边界条件,其中,是已知正数.,其中,是t的已知函数。,因此在弹性支承的情形，边界条件归结为,12,定解问题,定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题,根据定解条件的不同，定解问题又细分为：,混合问题或初边值问题；,初值问题或柯西（Cauchy）问题；,边值问题,两端固定的弦的自由振动问
5、题,13,1.2 热传导方程与定解条件,热传导现象：,一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出热传导方程。,为此，我们用函数,如果空间某物体G内各处的温度,不同，则热量就从温度较高的点处向温度较,低的点流动。,表示物体G,在位置,处及时刻,的温度。,14,热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：,物体在无穷小时段,内流过一个无穷小面积,的热量,与物体温度沿曲面,法线方向,的方向导数,成正比，而热流方向与温度升高的,其中,称为物体在点,处的热传导,系数，为正值.,当物体为均匀且各向同性时，,为常数，,为曲面,沿热流方向的法线.,方向相反，即,15,为了导出温度,所满足的方程,在物体G内
6、任取,一闭曲面,它所包围的区域记作,则从时刻,到时刻,经过曲面,流入区域,的热量为,其中,表示,对曲面的外法向导数.,16,流入的热量使区域,内部的温度发生变化,在时间间隔,中物理温度从,变化到,所需要的热量为,其中,为物体的比热,为物体的密度.,如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,17,先对,进行变形,利用奥-高(Gauss)公式,设函数,关于变量,具有二阶连续偏导数,关于变量,具有一阶连续偏导数,可化为,18,而,可化为,因此由,移项即得,（利用牛顿-莱布尼兹公式）,19,由于,与区域,都是任意取的,并且被积函数,是连续的,于是得,上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.,如果物体
7、是均匀的,此时,为常数,记,则得,齐次热传导方程,20,如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有,电流,或有化学反应等情况),设热源密度(单位时,间内单位体积所产生的热量)为,则在时间间隔,中区域,内所产生的热量为,同样由于热量要平衡,21,其中,非齐次热传导方程,相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。,22,二、定解条件,初始条件：,表示初始时刻物体内温度的分布情况,其中,为已知函数。,1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）,设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体,表面温度函数为,即,23,2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）,特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,绝
8、热性边界条件,已知物体表面上各点的热流量,也就是说在,单位时间内流过单位面积的热量是已知的，,其中,由傅里叶实验定律可知,是定义在边界曲面S，且,上的已知函数.,则相应的边界条件为,24,3、第三类边界条件（鲁宾Robin）,考察将物体置于另一介质中的情形.,设和物体接触的介质温度为,物体表面的,温度为,若物体表面温度与介质温度不相同,则在物体表面处与周围介质产生热交换.,利用热传导中的牛顿实验定律:物体从一介质到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比,其中的比例常数,成为两介质间的热交换系数.,即可得流过物体表面S的热量为,25,由于热量在物体表面不能积累,现在物体内部作,一无限贴近物体表面S的闭曲面,则在曲面,上的热流量应等于表面S上的热流量.,流过曲面,的热量为,则有关系式,其中,是定义在,上的已知函数.,
