《线性代数n维向量空间第3节极大无关组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数n维向量空间第3节极大无关组（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,4.3 向量组的极大线性无关组,4.3 向量组的极大线性无关组,一. 基本概念,列向量组: 1, 2, , s,矩阵A = (1, 2, , s),矩阵A的秩,向量组1, 2, , s的秩,r(1, 2, , s),第四章 n维列向量空间,行向量组: 1, 2, , s,矩阵A的秩,向量组1, 2, , s的秩,r(1, 2, , s),4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,(linearly dependent),(line
2、arly independent),1, 2, , s线性相关,1T, 2T, , sT线性相关,几个显然的结论:,(1),注意: 不要混淆:,“矩阵A的列向量组线性相关”,“矩阵A的行向量组线性相关”与,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,(2) 只含有一个向量的向量组线性相关, = 0.,(4) 含有两个向量, 的向量组线性相关, , 的分量成比例.,(5) 当s n时, 任意s个n维向量都线性相关.,例1. 设1, 2, 3线性无关, 1 = 1 + 22,2 = 2 + 23, 3 = 3 + 21.,证明: 1, 2, 3线性无关.,(3) 含有零向量的向量组一定
3、线性相关.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,二. 向量组之间的关系,A: 1, 2, , r B: 1, 2, , s,若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示.,1. 给定两个向量组,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,简记为A : 1, 2, , s, C : 1, 2, , n.,若j = b1j1 + b2j2 + + bsjs , j =1,2,n, 即,=,1,2,n,1,2,s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,简记为B: 1, 2, , s, C : 1, 2, , m
4、.,若i = ai11 + ai22 + + aiss, i =1,2,m, 即,B:,C:,=,1,2,s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,1,2,m,矩阵的乘积Cmn = Ams Bsn,=,行向量i = ai11 + ai22 + + aiss, i =1, 2, m.,列向量j = b1j1 + b2j2 + + bsjs , j =1, 2, , n,向量组的线性表示:,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,2. 向量组的线性表示与矩阵乘积,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,3. 传递性,A = (1, 2),B = (
5、1, 2, 3),C = (1, 2),1 = 1 + 2,2 = 1 + 22,3 = 1 + 2,1 = 21 + 2,2 = 1 2 + 3,= 2(1 + 2) + (1 + 22),= 31 + 42,= (1 + 2) (1 + 22) + (1 + 2),= 1,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,B能由A线性表示,A = (1, 2),B = (1, 2, 3),C = (1, 2),= A(DF).,C能由B线性表示,一般地,C能由A线性表示.,若向量组B能由向量组A线性表示; 同时 向量组A能由向量组B线性表示, 则称这 两个向量组等价.,4.3 向量组
6、的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,A: 1, 2, , r B: 1, 2, , s,4. 给定两个向量组,显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);,(2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性);,(3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性).,例2. 设有两个向量组,I: 1=1, 1, 2=1, 1, 3=2, 1,II: 1= 1, 0, 2= 1, 2.,即I可以由II线性表示.,即II可以由I线性表示.,故向量组I与II等价.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,5. 矩阵等价与向量组等价,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维
7、列向量空间,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,注:,矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价.,矩阵C与B的列向量组等价, 但行向量组不等价.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,定理2.1. 若向量组1, 2, , t可由向量组1, 2, , s线性表示, 则,r(1, 2, , t) r(1, 2, , s).,推论2.1. 若向量组1, 2, , t可由向量组1, 2, , s线性表示, 并且t s,则向量组1, 2, , t是线性相关的.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,三. 向量组秩的性质,证明: 记A = (1,
8、 2, , s), B = (1, 2, , t),则存在C使得B = AC,故r(B) r(A).,推论2.3. 若向量组1, 2, , s 和1, 2, , t 都线性无关, 并且这两个向量组等价,则s = t.,例3. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,3 = 3 + 21.,证明: 1, 2, 3线性无关1, 2, 3线性 无关.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,推论2.2. 若向量组1, 2, , t与向量组1, 2, , s等价,r(1, 2, , t) = r(1, 2, , s).,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,4
9、.3 向量组的极大线性无关组,一. 定义,如果向量组1, 2, , s的部分组,满足以下列条件:,极大线性无关组(maximal linearly independent subset)., 4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,二. 有关结论,定理2.5. 秩为r的向量组1, 2, , s一定有由,r个向量构成的极大无关组.,命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的,向量都构成它的一个极大无关组., 4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组,都是等价的, 因而任意两个极大无关 组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩.,命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无,关组都是等价的., 4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,三. 计算,理论依据:,(1) 命题2.1,(2) 初等变换不改变矩阵的秩.,例4. 已知向量组1, 2, 3线性无关, 求,1 2, 2 3, 3 1,的一个极大无关组., 4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,例5.设A =,3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4, 求A的列向量组,的一个极大无关组.,可见A的第1, 2, 4列构成A的列向量组的一 个极大无关组.,
