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1、第三节实对称矩阵与相似对角阵,实对称方阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的正交相似对角化. 问题与思考,第六章 特征值、特征向量及相似矩阵,【性质6.4 】,(1) 实对称矩阵的特征值一定为实数；,(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的 特征向量必相互正交；,设 、 是实对称矩阵 的两个特征值,证明,是对应的特征向量，,则,=,=,因A对称，,故,=,=,=,=,且,一、实对称矩阵的特征值与特征向量,于是,即,故,即 与 正交.,证毕,故,=,=,=,=,(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的 特征向量必相互正交；,此定理不予证明,(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的 特征向量必相互正交；,(1)
2、实对称矩阵的特征值一定为实数；,【性质6.4 】,1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E， AAT= E则称 A为 正交矩阵.,A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.,二、实对称矩阵的正交相似对角化,复习：,2. 正交矩阵的性质,(1) 将线性无关的向量组1，2，r正交化.,令 1=1，,2 =2- 1 ，,3 =3- 1 - 2，, ，,r =r- 1 - 2 - - r-1.,(2) 将1，2，r单位化，令,1= ，2= ， r= .,2、 将线性无关的向量组1，2，r化为一组两两正交的单位向量组的方法。施密特(Schmidt) 方法 （108页 ）,【定理6.4 】,
3、设A为 n 阶实对称矩阵，,n 阶正交矩阵P，,则必存在,使得,其中 是A的 n个特征值.,【证】,设A的所有互不相等的特征值为,它们的重数依次是,想？它们的和等于多少？,由对称矩阵的特征值的性质可知,对应于特征值,恰有 个线性无关的特征向量，,把它们标准正交化,即得 个标准正交的 特征向量.,由,知这样的特征向量共可得 n 个,由性质6.4(2)知,这 n 个单位特征向量两两正交,于是以它们为列向量,构成正交矩阵 P,得,证毕,【定理6.4 】,设A为 n 阶实对称矩阵，,n 阶正交矩阵P，,则必存在,使得,其中 是A的 n个特征值.,有此可见，实对称矩阵A一定可以对角化，与之相似的对角阵的
4、对角元素就是A的特征值，而正交矩阵P是其对应的两两正交的单位特征向量所组成。,下面, 给出求正交矩阵P 的步骤,1、求实对称矩阵A的全部特征值,即求解特征方程,的全部根；,2、将每一个特征值分别代入,求出基础解系；将基础解系正交单位化,3、作正交矩阵P,4、,事实上,做完这一步,就已经求出A的相似对角阵.,例题分析,例2,设,求一个正交矩阵P,使 为对角阵.,解,(1)求特征值,故得特征值,注意：可看出，实对称矩阵的特征值为实数,2、求出基础解系特征向量,当 时, 由,得基础解系,将基础解系正交单位化（施密特正交单位化）；,将 正交化得,再将 单位化得,注意：P1P2仍然是对应于特征值1的特征
5、向量，只不过是单位正交的。,当 时，由,得基础解系,注意：实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；所以P1P2P3为两两正交的单位特征向量。,再将 单位化得,4、作正交矩阵P,5、对角阵,解题过程注意： 1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致 2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法，故这里的正交矩阵P不唯一。 3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，可检验计算的正确性,【定理6.4 】,设A为 n 阶实对称矩阵，,n 阶正交矩阵P，,则必存在,使得,其中 是A的 n个特征值.,思考：对实对称矩阵A，如何求一个可逆矩阵， 使得（对角矩阵）？,【例6.8】,设矩阵A是3
6、阶实对称阵，,A的特征值为 1，2，2，,与,都是矩阵A 的属于特征值2的特征向量. 求A的属于特征值1的特征向量，并求矩阵A,解,设 为A的属于特征值1的单位特征向量.,由题意可知,与 均与 正交，,即 =0， =0，,【例6.8】,设矩阵A是3阶实对称阵，,A的特征值为 1，2，2，,与,都是矩阵A 的属于特征值2的特征向量. 求A的属于特征值1的单位特征向量.,解,设 为A的属于特 征值1的单位特征向量.,由题意可知,与 均与 正交，,即 =0， =0，,又,由前面得到,或,解,习题6-3 1（1） 分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.,1、求 的特征值,得基础解系,基础解系,2、求出基础解系特征向量,得基础解系,只需将基础解系单位化,3、将基础解系正交单位化（施密特正交单位化）；,4、作正交矩阵P,三、小结,实对称矩阵的特征值与特征向量 的基本性质,实对称矩阵的正交相似对角化问题.,作业： 179页 习题6-3 1（1） 2 183 页 总习题六 4； 6 完成第六、七章大作业中第六章习题,P 172 习题6-1 3,
