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1、1,积分变换 第6讲,2,拉氏变换的性质,本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件,3,1. 线性性质,若a,b是常数 L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s) L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.,4,2.微分性质 若L f(t)=F(s), 则有 L f
2、 (t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式,5,推论 若L f(t)=F(s), 则 L f (t)=sL f(t)-f (0) =ssL f(t)-f(0)-f (0) =s2L f(t)-sf(0)-f (0) . L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f (0)-.-f(n-1)(0) (2.4) 特别, 当初值f(0)=f (0)=.=f(n-1)(0)=0时, 有 L f (t)=sF(s), L f (t)=s2F(s), ., L f(n)(t)=snF(s) (2.5) 此
3、性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.,6,例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 则 L -k2cos kt=L f (t)=s2L f(t)-sf(0)-f (0). 即 -k2L cos kt=s2L cos kt-s 移项化简得,7,例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f (0)=.=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L m!=L f(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)- sm-2f (
4、0)-.-f(m-1)(0) 即 L m!=smL tm,8,此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质: 若L f(t)=F(s), 则 F (s)=L -tf(t), Re(s)c. (2.6) 和 F(n)(s)=L (-t)nf(t), Re(s)c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序,9,例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.,10,3. 积分性质 若L f(t)=F(s),11,重复应用(2.8)式, 就可得到:,12,由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 若L f(t)=F(s), 则,13,例4 求函数,的拉氏
5、变换.,14,其中F(s)=L f(t). 此公式常用来计算某些积分. 例如,15,4.位移性质 若L f(t)=F(s), 则有 L eatf(t)=F(s-a) (Re(s-a)c). (2.12) 证 根据拉氏变换式, 有,上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此 L eatf(t)=F(s-a) (Re(s-a)c),16,例5 求L eattm.,例6 求L e-atsin kt,17,5. 延迟性质 若L f(t)=F(s), 又t0时f(t)=0, 则对于任一非负数t0, 有 L f(t-t)=e-stF(s) (2.13) 证 根据(2.1)式, 有,18,函数f(t-t
6、)与f(t)相比, f(t)从t=0开始有非零数值. 而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图象讲, f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.,19,例7 求函数,的拉氏变换.,1,u(t-t),t,t,O,20,例8 求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换. 利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为,f(t),4A,3A,2A,1A,O,t,t,2t,3t,21,利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得,当Re(s)0时, 有|e-st|1, 所以, 上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数, 从而,22,一般地
7、, 若L f(t)=F(s), 则对于任何t0, 有,=函数的周期拓展,23,例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换,O,t,E,f(t),O,O,E,E,T,T,t,f1(t),f2(t),t,24,由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以,25,例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换,3T,2,5T,2,t,T,2T,O,E,fT(t),26,由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为,从而,27,这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t0)是周期为T的周期函数, 如果,且L f(t)=F(s), 则,28,初值定理与终值定
8、理,29,证 根据拉氏变换的微分性质, 有 L f (t)=L f(t)-f(0)=sF(s)-f(0) 两边同时将s趋向于实的正无穷大, 并因为,30,(2) 终值定理 若L f(t)=F(s), 且sF(s)在Re(s)0的区域解析, 则,31,证 根据定理给出的条件和微分性质 L f (t)=sF(s)-f(0), 两边取s0的极限, 并由,32,这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值), 可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到, 它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.,在拉氏变换的应用中, 往往先得到F(s)再去求出f(t). 但经常并不关心函数f(t)的表达式, 而是需要知道f(t)在t和t0时的性态, 这两个性质给了我们方便, 能使我们直接由F(s)来求出f(t)的两个特殊值f(0), f(+)。,33,例11 若,解：根据初值定理和终值定理,34,35,作业,36,请提问,
