[理学]第四章 回归技术与需求估计

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1、第四章 回归技术与需求估计,回归技术,需求估计,回归分析中的问题,回归技术,动因：根据假设（理论）模型， 使用变量的已有（历史）数据，确定模型中的参数。,思路：拟合,先以青歌赛歌手得分为例。,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,95,85,得分均值=90分,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,95,85,得分均值=90分,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,95,85,得分均值=90分,相比较而言， 水平参差不齐,90,歌手数,90,歌手,歌手得分,歌手总得分,90,规律曲线,下面以成本函数为例说明如何得到规律曲线,成本,产量,成本函数的一般形式：曲线式 （

2、见第7章）,成本函数的简化形式：直线式,总成本和总产量数据,以直线函数式表示： Y=a+bX, b0 其中，系数a为截距。,截距a,系数b为直线斜率。 对(X1,Y1)和(X2,Y2)两点， b=(Y2-Y1)/(X2-X1),但是这个直线的得出靠目测等简单的方法，不科学。,估计系数,参考“方差”和“标准差”的思路， 利用已知的X、Y系列数据， 用合理的方式构造出直线的方程， 求出系数a和b。,希望得到的直线,希望得到的直线， 称为“估计曲线”，或“拟合（fit）曲线”。,“拟合曲线”的拟合原则， 是使直线尽可能贴近所有的散点， 总偏差最小。,哪一条曲线是最合适的拟合曲线？,?,?,?,局部放

3、大，选择2个点观察,Yi到拟合曲线的离差0,Yi到拟合曲线的离差0,“拟合曲线”的拟合原则， 是使直线尽可能贴近所有的散点， 总偏差最小。 而“总偏差”的表示方式是： 各点和直线离差的平方和。 这种方式， 称为“最小二乘（平方）”法。,使用各点与拟合直线离差平方和的方法，将所有正、负离差都充分表达出来，并要求其总和最小，综合考虑，可使拟合直线充分“靠近”离散点，并“照顾”了各点之间的分布形状。 由此得到的拟合曲线，又称“回归曲线”。,如何实现“总偏差最小”？,拟合直线,最小二乘回归估计（least-squares regression estimation）,希望这直线和n个点距离（的平方）之

4、和越小越好。,主要任务是求出次回归曲线的2个系数。,系数b就是Y对X的一阶导数,欲解使,须先分别求函数,对a和b的一阶偏导数。,的a和b，,使用复合函数求导法，令,知,而,故,则,最小二乘回归估计（least-squares regression estimation）,回归曲线系数是下列方程组的解：,代入,其中，注意到,同样,最小二乘回归估计（least-squares regression estimation）,其中，注意分子,在上述过程中，将Y置换为X，可知分母为,所以,在n组数据 已知的情况下， 为常数， 其乘积也为常数 常数连加n次，等于乘以n,（见教材P97）,主要计算过程,例：

5、估计龙虾晚餐的需求,0,4, 2,0,8,0,0,0,5,7, 30,9,3, 10,6, 60,9, 3,20,5, 20,4, 2,10,4, 45,9,3, 15,3, 20,4,2, 10,2,0,1, 1,0,1,城市,估计需求函数Qd=a+bP的参数,求得：,另外，可求需求的价格弹性,使用软件计算,仍用估计龙虾晚餐需求的例子,使用Microsoft Office Excel,先输入原始数据。 再选择函数： INTERCEPT：截距a； SLOPE：系数b。 函数中(A1:A8)代表导入A1A8八个数据。,估计需求函数Qd=a+bP的参数,（coefficient of determ

6、ination） 在因变量的总变差中，已由回归方程解释的部分所占的比重。,相应于Xi，回归曲线上的点越靠近实际值Yi，说明回归曲线拟合度越优， 此时R2取值越接近1。 反之， R2取值接近0，拟合度最差。 此时因变量Y和自变量Xi的变化没有关系。,可决系数R2评价回归曲线的总体拟合优度,检验回归估计（之一）,对于回归方程,312.23,24083.94,392.33,29880.58,4.37,17100.79,376.91,17651.78,1618.45,1094.95,270.23,50.98,949.87,781.76,209.18,8.18,613.06,2743.66,184.76

7、,5950.58,3.50,7922.78,148.13,7593.38,166.93,22518.00,87.08,18807.38,未解释变差,已解释变差,总变差,Yi,可决系数R2评价回归曲线的总体拟合优度,Xi,Yi,评估方式的设计思路,先一某一点Yi为例,如果对于一组原始数据，用不同的办法拟合出两条直线,沿此思路， 将“距离”表达为离差平方， 并综合考虑所有原始数据（求和）， 可以构造评估方案。,可决系数R2评价回归曲线的总体拟合优度,定义Y的变差如下：任一Yi和Y均值之间离差的平方。 总变差就是所有Yi离差的平方和。 将其分解如下：,其含义是： 总变差可以分为两部分， 一部分是实际

8、点到拟合直线的变差， 另一部分是拟合直线到均值之间的变差。,评估方式的设计思路,可决系数R2评价回归曲线的总体拟合优度,O,Y,X,Xi,总变差,未解释变差（总误差）,已解释变差,所谓“已解释变差”，指回归直线上点到均值的变差，是由于自变量Xi变化引起的变差。 “已解释变差”，又被称为“回归离差”。 总变差减去已解释变差，就是“未解释变差”，又被称为“总误差”。,评估方式的设计思路,可决系数R2评价回归曲线的总体拟合优度,T统计量评测评价单个自变量的解释能力,几个概率统计概念,随机变量x的 概率分布f(x),正态分布,标准正态分布,记为XN(0,1),均值=0, 标准差= 1,检验回归估计（之

9、二）,随机变量X1N(0,1), X2N(0,1), XnN(0,1)，且彼此相互独立，则：,n称为“自由度”，表示Xi2中有n个随机变量项可以自由取值。,t分布,XN(0,1)， ，且X、Y相互独立，则随机变量,XN(0,1),Tt(n),=0, =n/(n-2),T统计量评测评价单个自变量的解释能力,几个概率统计概念,样本的考察指标有样本均值、样本方差、样本标准差,在回归方程 例中，,T统计量评测评价单个自变量的解释能力,几个概率统计概念,构造变量,由分布理论得知，此t服从自由度为n-k-1的t分布，即,自由度为n-k-1的t分布数值，可以查表得到，记为t0， 若经计算tt0， 则拟合的系

10、数b表征了拟合曲线和样本的关系， 即回归直线是统计上显著的。,在回归方程 例中，,t=12.211.19=10.26 这个数大于查自由度为7-1-1=5的t分布表的t值tn-k-1=2.571， 统计上显著。,n为原始数据的组数，k为方程中自变量的数目。,（查表：教材P549附表III）,T统计量评测评价单个自变量的解释能力,或用如下方式来估计b的95%的置信区间：,b的95%的置信区间= =12.21-2.571*1.19, 12.21+2.571*1.19 =9.15, 15.27 或： b的95%的置信区间为9.15 15.27,T统计量评测评价单个自变量的解释能力,利用回归方程进行预测

11、,对于回归方程,只要给定自变量X的值，就可以求出在回归曲线上Y的值。 例如，当X=20时，Y=87.08+12.21*20=331.28,因为给定自变量X并非此前真实存在， 所以这时求出的Y值称拟合值，或称理论值、预测值。 而实际上，如此精确的结果并非有实用价值， 可以变通一下，给出当给定自变量X时，Y的可能区间。称区间估计。,度量预测值可能的误差，用估计值标准差Se,Y的95%置信区间为：,利用回归方程进行预测,例如X=22，代入回归方程，Y=87.08+12.21*22=355.70,而,所以生产22个单位产品成本的95%的置信区间为：,355.702.571*27.14,即：285.92

12、 425.48,多变量回归 例如Y=A+bX+cZ 假定其他变量不变，某一自变量（X或Z）单独发生变化时， 其一单位变化对因变量的影响为系数b、c的含义。,多元回归,需求估计, 建立理论模型 收集数据 选择函数形式 估计和解释结果,建立理论模型,注意每个变量的内涵和关联关系,收集数据, 调查 问卷调查 电话调查 网络调查 入室调查 市场实验 查询档案资料 企业资料 政府统计资料 行业统计资料, 时间序列数据：纵向，按时间进程排列 横断面数据：横向，同一时间点上,选择函数形式, 解释系数 计算弹性 ,模型,线性方程,幂函数方程,不能直接用最小二乘法来估计，求对数后可以使用：,一种选择是：,另一种

13、选择是：,使用幂函数及其对数方程，可方便地将系数和弹性建立关系,两侧同乘以P/Qd,同样，aI、aO、aT分别是需求的收入弹性、交叉弹性和偏好弹性。,估计和解释结果,对某线性函数, 系数取值的意义 标准差表示估计值的准确度 t-统计量的得出（系数除以标准差）用以假设检验 可决系数R2表示模型的总解释能力,回归分析中的问题, 变量遗漏 识别问题 多重共线性,变量遗漏,S= 484.42+15.54K R2=0.44 (5.32) (2.51) K越高，S越大，不合常理 修正： S= 462.81.28K+17.14H R2=0.92 (3.71) ( 0.33) (6.44),（见教材例）,多重

14、共线性,问题：变量太多，自身高度相关,G=50.00+0.40H+0.02P R2=0.80 (2.80) (0.80) (1.35),H和P高度相关，可以通过相关系数r反映 删掉一个变量H G=60.00+0.03P R2=0.75 (2.70) (3.00),（见教材例）,识别问题,S1,S2,S3,产生根源：供给曲线和需求曲线存在变动的同时性。 使用计量经济学工具解决。 识别方式：需求、供给中各加入不同的影响变量。,原始数据,认为需求固定，由于供给曲线变动形成一系列P-Q对应数据。,事实上，可能D曲线与S曲线同时都移动了。,例如：汽油的市场均衡模型： Qd=B+d1Pg （Pg为汽油价格

15、） Qs=C+s1Pg Qd=Qs 前两个方程的自变量相同（Pg），而第三个等式决定了前两个方程可以合成一个等式， 故“无法识别”：无法通过回归统计得到参数B, d1, C, S1（特别是需求方程中的B和d1）的值。 解决办法如下： 需求方程中加入自变量“收入I”，供给方程中加入另一自变量“相关商品原油的供给价格Pc”： Qd=B+d1Pg+d2I Qs=C+s1Pg+s2Pc Qd=Qs 称为“结构型模型”。可得： B+d1Pg+d2I=C+s1Pg+s2Pc，求Pg的表达式：,称为“约简型”方程：线性；右边只有I和PC两个自变量，可用最小二乘法估计。,将其带入结构型模型的需求方程表达式，,Q=A+g1Pc+g2I,习题 讨论题 7 练习题（一）4、8 练习题（二）1,