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1、,第五章 矩阵的对角化及二次型 第一节 方阵的特征值与特征向量,一.概念: 1.特征值,特征向量:,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使 关系式 成立，那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量。,2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:,称 为方阵 A 的特征方程，显然特征方程 的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。,称为 A的 特征矩阵。,设 为 的一个特征值， 为其对应的特征向量，则,注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。,例1：求矩阵 特征值和特征向量。,二.计算方法:,解：A 的特征多项式为,所以 A
2、的特征值为,当 时，对应的特征向量应满足,即,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,当 时，对应的特征向量应满足,即,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,例2：求矩阵 的特征值和特征向量.,解：A 的特征多项式为,所以 A 的特征值为,当 时，解方程,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,当 时，解方程,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,例3：求矩阵 特征值和特征向量。,所以 A 的特征值为,当 时，解方程,解：A 的特征多项式为,即,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,当 时，解方程,即,令 ，得到对应于 的全部特征向量为,三.特征值的性质：,(2),四.特征向量的性质： 1.定理2:,若 是
3、 A 对应于特征值 的两个特征向量则 也是 A 对应于 的特征向量。 2.定理3: 矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 五:说明: 1.对数值矩阵,一般用 , 求其特征值. 2.求非数值矩阵的特征值,则需用定义求解. 3.重根只对应一组线性无关的特征向量. 例:设n阶方阵A满足 ,证明A的特征值为1或0.,六.补充定理,定理:设 是方阵A对应于特征向量x的特征值,则: 1.对数值k,则 是矩阵kA对应于特征向量x的特征值. 2.对于正整数 ( 2),则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值. 3.若A为可逆阵.则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值. 4. 是 的特征值.,例:设三阶方阵
4、A的三个特征值为1.2.-1, (1)求矩阵 的特征值; (2)求矩阵 的特征值;,第二节 矩阵相似于对角阵,一.矩阵相似,1.定义:设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 称 B 是 A 的相似矩阵,记为AB 矩阵P称为相似变换矩阵 2.性质: (1)相似关系是等价关系(自反性,对称性,传递性), (2)定理4：若 A 与 B 相似，则 (1) r(A)=r(B) (2) |A|=|B| (3)A 与 B 的特征多项式相同,则 A 与 B特征值也相同。,例1.设三阶矩阵 与B相似,求 的特征值. 例2.设n阶方阵A与B相似,且 是A对应于特征值 的特征向量,证明: 为B对应于 的
5、特征向量.,1.概念:若 n 阶矩阵 A 与对角阵,相似，则 称 A 可对角化。,二.方阵相似对角阵的条件:,注：设 A 的 n 个线性无关的特征向量为 ，,记矩阵 ，则 P 即为相似变换 矩阵，使 为对角阵。,即 P 为 A的n个线性无关的特征向量构成的矩阵 证:,2.条件: (1)定理5:n 阶矩阵 A 与对角阵相似(即 A 能对角化),A 有 n 个线性无关的特征向量,(3)推论2: 若A的每一个 重特征值有 个线性无关的特征向量,则A可对角化,(2)推论1: 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值,则 A可对角阵化。 注:1)其逆命题不成立. 2)若 为单根,必对应一个线性无关的特征
6、向量. 若 为重根,当 对应线性无关向量个数n,A不能对 角化. 3)对角阵主对角线元素可由 构成,其顺序同P阵.,例3.判别下面矩阵能否相似于对角阵.若能相似于对角矩阵,求出P和对角阵.,三.可对角化矩阵的幂: 结论:求 转化为求特征值及特征向量.,例4.设三阶矩阵A的特征值 对应的特征向量为, 求A.,第三节 二次型的标准形,一.二次型及其矩阵:,2)：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式） 若标准形的系数 只在 1，1，0 中取值， 则称为二次型的规范形。,取 ，则,此时,2.二次型与矩阵关系:,其中,即二次型 可记作 ,其中 A 为对称阵。,故称对称阵 A 为二次型 的矩阵，
7、 为对称阵 A 的二次型， 对称阵 A 的秩叫做二次型 的秩。,结论:,3.二次型与对称阵互表方法,1)已知二次型求对称阵A: A的主对角线元素 为 项系数,其它元素 为 项系数的一半. 2)已知对称阵A求二次型: 上述步骤的逆过程.,二.可逆变换化二次型为标准型,1.概念: (1)可逆线性变换: 设一组变量 与另一组变量 的变换式为 简记为x=Py,其中 , 为可逆阵,称上式为可逆线性变换.,(2)合同,定义3：设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 使 ，则称矩阵 A 和 B 合同。,2.化标准型方法:,1)定理2:任给二次型 ,有可逆变换 使 化成标准形 其中 是 的矩阵 的特
8、征值。 等价于对任一实对称阵A,总存在可逆阵P,使A合同于对角阵 2)方法:(1)拉格朗日配方法; (2)正交变换法.,3).拉格朗日方法步骤: (1)f中含有某变量平方项: 把含有此变量的项归并,配方; 再对其它变量进行配方,直至完全配为平方项. (2)f中不含变量的平方项: 用一简单逆变换使f中含有新变量平方项, 按第一种方法进行.,3.注:(1)二次型化标准型不是惟一的. (2)标准型中非平方项的个数是惟一的. 4.惯性定理: (1)定理:设秩为的二次型,经可逆线性变换化为标准型时, 正的平方项的个数p一定,负的平地方项的个数q一定. (2)概念: 正惯性指数:正的平方项数p. 负惯性指
9、数:负的平方项数q. 符号差: p-q,第四节 正交变换化二次型为标准形,一.正交矩阵与正交变换:,1.正交矩阵: (1)定义: 若 称C为正交阵. (2)性质:正交阵的行列式等于是或-1, 正交阵的逆阵等于其转置阵, 两正交阵的乘积仍是正交阵. 2.正交变换: (1)定义:设C为n阶正交阵.X,Y为n维向量,称线性变换 X=CY为正交变换. (2)性质:保持向量长度,内积,不变,因而两向量之间的夹角及正交性不变.,二.正交变换化二次型为标准形: 1.实对称阵的性质:,(1)实对称矩阵的特征值为实数。,(2)：设 是对称阵 A 的两个特征值， 是对应 的特征向量。若 ，则 与 正交。,2.定理
10、3:实二次型必存在正交变换X=CY化为标准型,等价于对n阶实对称阵A,必存在正交阵C.使A合同相似于对角阵。,其中 为A的特征值,C的n个列向量是A对应于特征值 的标准正交的特征向量.,3.化标准形步骤： (1)写出f的矩阵A, (2)由特征方程求的n个特征值, (3)求关于 的特征向量 1)当 为单根时,取一非零特征向量,单位化,2) 对每个重特征值 ，求方程 的基 础解系，得 个线性无关的特征向量。再把它们正 交化、单位化，得 个两两正交的单位特征向量。,（4）把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便 有 。其中 中对角元的排列次 序应与 P 中列向量的排列次序相对应。,解:,于是 A 的特征值为：,对于 ，解方程,令 ，得基础解系 ，将 单位化,对于 ，解方程,再将 单位化，得,将 构成正交矩阵,则有,例2：用正交变换把 化为二次型 。,
