力矩和平面力偶系

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1、机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,3.1 力矩及其计算,3.2 力偶及其性质,3.3 平面力偶系的合成与平衡,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,3.1 力矩及其计算,一、力矩 设刚体在图面内受力 F 作用（图 3 -1 ）。在同图面内取一点 0 ，点 0 称为矩心，矩心到力作用线的距离称为力臂，用 h 表示，则力 F 在图示平面内对矩心 O 的矩（简称力矩）的定义如下： 力矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘积，其正负号按：力使物体逆时针转动时为正；反之为负。 力对点O之矩为： Mo(F)=Fh,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研

2、 室,1）力的大小为零时，力矩为零； 2）力的作用线通过矩心时，力臂为零，故力矩为零； 3）取不同矩心时，力臂和转动方向都可能改变，故同一力对不同的矩心的力矩一般并不相等。 力矩概念是从实践中总结出来的，它表示力使物体绕某点转动的效果。如图3-2所示。 力矩的单位：牛顿.米（N.m),图3-1,图3-2,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,二、合力矩定理： 设刚体受到某一平面力系的作用。此力系由力 Fl 、 FZ 、 、 Fn 组成，其合力为 R 。在平面内任选一点 O 作为矩心，合力 R 与各分力 Fi ( i = 1 、 2 、 、 n ）的力矩均可按式（ 3-1 ) 计

3、算。由于合力与整个力系等效，故 合力对点O的矩，的等于各分力对点O之矩的代数和。 即作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）,MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) + MO(Fn) = MO(Fi),机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,三、力矩的计算 力矩可用式（ 3-1 ）计算。若力臂 h 不易求出，也可用式（ 3-2 ）即合力矩定理计算。 例 3- 1 图 3 -3a 所示的圆柱齿轮，受到法向力 Fn的作用。设 Fn=700N ，压力角 a = 20 ，齿轮的节圆半径 r = 80mm ，试计算力 Fn

4、对轴 O 的矩。 解：此力矩可用两种方法计算： ( 1 ）根据力矩的定义求解 由图 a 可见，力臂 h= r cosa ，故由式（ 3 -1 ）可得 MO ( Fn ) = Fnh = Fn rcos a = 700 x 0 . 08cos 20= 52 . 62Nm 因力 Fn使齿轮逆时针转动，故力矩 MO( Fn ）为正值。,图 3- 3,机械基础 CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,解：此力矩可用两种方法计算： ( 2 ）用合力矩定理求解 由图 a 可见，力臂 h= rcosa ，故由式（ 3 -1 ）可得 MO ( Fn ) = Fnh = Fn rcos a = 700 x

5、 0 . 08cos 20= 52 . 62Nm 因力 Fn使齿轮逆时针转动，故力矩 MO( Fn ）为正值。 先将 Fn 分解为圆周力 Ft和径向力 Fr ，由图 b 可见 Ft = Fn cosa Fr = Fnsina 由式（ 3-2 ）可得 Mo ( Fn ) = Mo ( Ft ) + Mo ( Fr ) = Fncosa r十 0 = 700 cos200 0. 08 = 52 . 62Nm,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,图 3-4,例 3 - 2 图 3- 4 所示为一液压驱动的起重臂。已知尺寸 a 、 b 、。和角度 a ，试求油缸液压推力 F 对轴 O

6、 和铰 B 的矩。 解:取坐标系xOy. ( 1 ）求力 F 对 O 点的矩。将力 F 沿坐标轴分解，由图可得 F= Fsina , Fy = Fcos a,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,由式（ 3 -2 ）可得 Mo ( F ) = MO ( Fx ) + MO ( Fy ) = Fxb + Fya = F ( bsina + acosa ) ( 2 ）求力 F 对点 B 的矩。同理可得（注意分力 Fx 通过 B 点） MB ( F ) = MB ( Fx ) + MB ( Fy ) = 0 + (-Fyc）= -Fccos a,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽

7、 车教 研 室,3.2 力偶及其性质,两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理,一、力偶,力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,图3-5,图3-6,图3-7,图3-5这样的两个反向的平行力并不满足二力平衡条件，故在力偶的作用下，刚体不能保持平衡（虽然此二力的矢量和为零）。 力偶不能简化为合力，即不能与一力等效。力偶只能改变刚体的转动状态。如图3-6、图3-7、图3-8和钥匙开门等. 因力偶不能简化为一力

8、，故力偶也不能被一力所平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,二、力偶矩 由上节已知，力使物体绕某点转动的效果用力矩来度量。同理，力偶使物体转动的作用效果，可由组成力偶的两力对某一点的矩的代数和来度量。 设刚体上作用有力偶（ F , F ) ，如图 3- 9 所示。在图面内任取一点 O 为矩心，由图可见 MO ( F ) = F ( d + x ) MO ( F ) - F x 式中 d 为力偶臂。 因 F 二 F ，可得 MO ( F ) -F , x =一 Fx,图3-9,图3-9,图3-8,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教

9、 研 室,故力偶（ F , F ）对矩心 O 的矩为 Mo ( F ) + Mo ( F ）=F ( d + x ）一 Fx = Fd 上式右边为正值，说明两力矩的代数和使刚体逆时针转动，与该力偶驱使刚体转动的转向一致。上式说明：力偶对其作用面内任意一点的矩为一恒定代数量，该量称为力偶矩，它表示力偶对物体转动的作用效果。 由上述可知:力偶矩是代数量，其绝对值等于力偶中的一力的大小与力偶臂的乘积，其正负号确定如下：力偶使物体逆时针转动为正，反之为负。力偶对其作用平面内任意 一点的矩恒等于力偶矩。用 M 表示力偶矩，可得 M =士 Fd ( 3 - 3 ) 力偶矩的单位与力矩的单位相同。,机械基础

10、CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,三、力偶的性质 作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等 则两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。,( a ) ( b ) 图 3-10,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,三、力偶的性质 作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等 则两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。 由上述力偶等效的条件可以看出： ( 1 ）力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用。因为这种转移不改变其力偶矩； ( 2 ）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

11、例如图 3-11 所示的方向盘，司机对它所施加的力偶由（ F , F ）变为（2F , 2F ）时，只要将力偶臂同时减半，使方向盘转动的效果就不会变化。若将（ F , F ）改为（ F1 , F1）并保持 Fl = F ，作用效果也不变。,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,图 3- 11 图 3-12 由此可见，力偶中力的三要素和力偶臂长度都不是力偶的特征量，决定平面内力偶对刚体作用效果的唯一特征量是力偶矩 M 。作用在刚体上的力偶，可按图 3- 12 中的任一种方法来表示。,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,3.3 平面力偶系的合成与平衡,作用在刚体上

12、同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。可以证明，平面力偶系能与一个力偶等效，这个力偶称为该平面力偶系的合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 用 M 表示合力偶矩，用 Ml 、 MZ 、 、 Mn 表示力偶系中的各力偶矩，则有 M M ( 3 一 4 ) 由上述结果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的条件是各力偶矩的代数和为零，即 Mi = 0 ( 3 一 5 ) 用式（ 3- 5 ）可以解决平面力偶系的平衡问题，其解题步骤与 2 一 4 中所述步骤类似。,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,例 3-3 用端面铣刀加工连杆的端面，如图 3 - 3 所示。连杆在图面内受到矩

13、为 M1= l00N m 的切削力偶的作用。连杆大头的孔套在固定心轴 O 上，小头靠在固定挡销 A 上以防止连杆在图面内转动。若不加夹紧并忽略摩擦，且已知l= 200mm。试求心轴与挡销所受的横向力。,图 3 一 13,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,解:以连杆为研究对象。它在图面内受给定的切削力偶矩 M1作用。挡销为光滑面，其约束力为 NA ；心轴可视为固定支座。由于力偶只能被力偶所平衡，故心轴的约束力 NO 必与 NA 构成一力偶，从而可知 No 的方向向下，且 No = NA 。连杆的受力图如图所示。连杆在图面内受平面力偶系作用。由式（ 3-5 ）可得 M O ，一

14、 MI + NAl= 0 N0= NA= M/l=100/0.2=500N 由力的作用和反作用定律，可知心轴与挡销均受到 50ON 的横向力，其指向分别与图中 No 和 NA 相反。这些力将使心轴和挡销发生变形甚至损坏，故加工时连杆必须夹紧。,NA,NO,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,习题 3 - 1 如图所示，构件上作用有力 F 。设 F 、 l 和 均已知。试求： ( 1 ）若 1 已知，求 F 对点 O 的矩； ( 2 ) 多大时此力矩最大，最大值等于多少？ ( 3 ) 1多大时，此力矩为零？,题 3 一 1 图,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研

15、室,习题 3 一 2 试求图中力 F 对点 A 和点 B 的矩。已知 F = 50N ，图中长度单位为 cm 。,题 3 一 2 图,?,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,?,思考题-第三章,3-1矩心到力作用点的距离等于力臂吗？力的作用点沿作用线移动时，其力矩是否改变？ 3-2 比较力矩与力偶矩的异同。 3-3 比较力偶与力偶矩的异同。 3-5对于变形体，力偶能否在作用面内任意搬移；为什么？ 3-6 拧旋钮时，手指对旋钮施加的力偶由两个什么力组成？为什么旋钮外面有花纹？ 3-4 既然一力不能与一力偶平衡，那么为什么图 3-14 所示的绞车鼓轮，它在力偶 M 和绳的拉力 G 的作用下，能匀速提升该重物？,机械基础CAI课件,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,?,思考题-第三章,3-4 既