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1、选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系,【知识梳理】 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y), 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做_,自极点O引一 条射线Ox,叫做_;再选定一个长度单位、一个角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系. (2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设 |OM|=(0),以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角为, 则点M可用有序数对_
2、表示.,极点,极轴,(,),(3)极坐标与直角坐标的互化公式: 在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),则相互转化公式为,cos,sin,x2+y2,3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程:,+,+,cos,sin,(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(0,0), 且极轴到此直线的角为,直线l的极坐标方程为:sin(-) =_.,0sin(-0),4.半径为r的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程:,r,2rcos,2rsin,-2rcos,-2rsi
3、n,(2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(0,0),半径为r 的圆的极坐标方程为_.,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 点(3，2)经过伸缩变换: 后的所得点的坐标为 (1,1); 将函数y=sin 2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin x的图象;,在极坐标系中，点(2, )与(2, )为同一点; 在极坐标系中，方程cos =1表示圆. 其中正确命题的序号是_.,【解析】正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为: 则点(3,2)经过变换后的点的坐标为(1,1). 正确.将函数y=sin 2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数y=sin 2( x)=sin
4、x的图象. 正确.极坐标系中，点(2, )与(2, +2k)(kZ)为同一点. 错误.极坐标系中，方程cos =1表示垂直于极轴的直线. 答案：,2.以极点为原点，极轴的方向为x轴的正方向，建立直角坐标 系，则极坐标M(2 014, )表示的点在第_象限. 【解析】由于x=cos =2 014cos =1 007， y=sin =2 014sin =1 007 ， 故点(1 007,1 007 )在第四象限. 答案：四,3.在极坐标系中,曲线=4cos围成的图形面积为 . 【解析】方法一:由于圆心在点(r,0),且过极点的圆的极坐标方程为=2rcos,由方程=4cos,得r=2,面积S=4.
5、方法二:由曲线的极坐标方程=4cos,得2=4cos,所以圆的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,化为标准方程,得(x-2)2+y2=4,所以圆的半径为2,面积为4. 答案:4,4.在极坐标系中，过点(2， )且平行于极轴的直线的极坐标方程是_. 【解析】点(2， )的直角坐标为(0，-2)，平行于极轴(即 横轴)的直线的直角坐标方程为y=-2，化为极坐标方程为 sin =2. 答案：sin =-2,5.椭圆 经过伸缩变换: 后得到曲线的周长为_. 【解析】由变换: 得到,代入椭圆的方程 得 化简,得x2+y2=1,即x2+y2=1，圆的周长为2. 答案：2,6.极坐标系中,点A在曲线=2si
6、n上,点B在曲线cos=-2上,则|AB|的最小值为 . 【解析】由=2sin得2=2sin,化为直角坐标方程,得 x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1. 因为cos=-2,所以x=-2, 易知圆心(0,1)到直线x=-2的距离为2,圆半径为1, 所以|AB|min=1. 答案:1,考点1 伸缩变换 【典例1】在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线C变为曲线x2+y2=1，则曲线C的方程为_. 【解题视点】根据伸缩变换公式代入曲线方程即可.,【规范解答】设曲线C上任意一点为(x,y)，经过伸缩变换后 对应点的坐标为(x,y)， 由 得 代入x2+y2=1，得 答案：,【互动探究】若本
7、例条件不变，则曲线C上的点到曲线中心距离的最大值为_. 【解析】由本例解析可知，曲线 上的点到曲线中心距离的最大值为5. 答案：5,【规律方法】伸缩变换公式的题型与解法 (1)已知变换前(后)点的坐标以及伸缩变换公式,求变换后(前)的点的坐标,直接运用伸缩变换公式计算即可. (2)已知变换前(后)方程的曲线以及伸缩变换公式,求变换后(前)的曲线的方程,要分清变换前后的曲线上的点的坐标表示,不能混淆.,强化“代换法”在求曲线方程中的应用 函数图象的变换是通过曲线上任意一点的坐标的变换实现的,运用“代换法”是解决“相关点”的动点轨迹方程的通性通法.,【变式训练】若函数y=f(x)的图象在伸缩变换:
8、 作用下得到曲线的方程为y=3sin(x+ )，则函数y=f(x) 的最小值为_,最小正周期为_.,【解析】设函数y=f(x)的图象上任意一点的坐标为P(x,y), 在伸缩变换: 作用下得到曲线的对应点的坐标为 P(x,y)，将: 代入曲线方程y=3sin(x+ )，得y=sin(2x+ )， 即f(x)=sin(2x+ )，所以函数y=f(x)的最小值为-1，最小正 周期为. 答案：-1 ,考点2 点的极坐标与直角坐标的转化 【典例2】(1)将点M的极坐标(2, )化为直角坐标为_. (2)若0,R,将直角坐标M(3,3 )化为极坐标为 _. 【解题视点】(1)由公式 计算点的直角坐标. (
9、2)由公式 先求极径，再求极角.,【规范解答】(1)由公式 得 所以点M的直角坐标为( ,1).,(2)由公式 得 当0,2)时，有= .又0,R， 所以点M的极坐标为(6， +2k),kZ. 答案：(1)( ,1) (2)(6， +2k),kZ,【易错警示】注意极角的取值范围 由点的直角坐标化为极坐标可能不惟一，这可以由极角的取值 范围进行确定.如本例(2)若限定0,0,2)，则直角 坐标M(3,3 )化为极坐标为(6， ).,【规律方法】直角坐标化为极坐标的关注点 (1)根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(，)的形式不惟一，即一个点的极坐标有无穷多个. 当限定0
10、，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是惟一的.,(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角0,2)的值. 提醒:极点O的极坐标为(0，)，为任意值，但一般取=0，即极点的极坐标为(0，0).,【变式训练】(1)将点的极坐标(, )化为直角坐标为_. (2)若0,0,2),将点的直角坐标(1,1)化为极 坐标为_. 【解析】(1)由公式 得 x=cos =0，y=sin =， 所以点的极坐标(, )化为直角坐标为(0,).,(2)由公式 得 tan = =1, 点(1,1)在第三象限, 所以= . 所以点(1,1)的极坐标为 答案：(
11、1)(0,) (2),考点3 直线与圆的极坐标方程 【典例3】(1)(2013北京高考)在极坐标系中，点(2, ) 到直线sin =2的距离等于_. (2)(2014中山模拟)在极坐标系中，过点 作圆 =4sin 的切线，则切线的极坐标方程为_.,【解题视点】(1)转化为直角坐标和直角坐标方程进行计算. (2)将点的极坐标化为直角坐标，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，判断点与圆的位置关系，再求切线方程.,【规范解答】(1)极坐标系中点(2, )对应直角坐标系中坐标 为( ,1)，极坐标方程sin =2对应直角坐标系中的直线 方程为y=2，所以点( ,1)到直线y=2的距离为1. (2)将点的极
12、坐标 化为直角坐标为(2,2)，将圆的极坐 标方程=4sin 化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0，配方，得 x2+(y2)2=4， 圆经过点(2,2)，所以过点(2,2)的圆的切线方程为x=2，化为 极坐标方程为cos =2. 答案：(1)1 (2)cos =2,【规律方法】 1.解决有关极坐标方程问题的一般思路 由于根据极坐标方程不容易确定方程的曲线形状与位置关系，所以常常把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 2.将极坐标方程化为直角坐标方程的使用公式 因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合，所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式y=sin ,x=cos
13、.,【变式训练】(2013天津高考)已知圆的极坐标方程为= 4cos ,圆心为C,点P的极坐标为(4, ),则|CP|=_. 【解析】方法一：将圆的极坐标方程=4cos 化为直角坐 标方程为x2+y24x=0，标准方程为(x2)2+y2=4，圆心为 C(2,0)，将点P的极坐标(4, )化为直角坐标为(2,2 ),则 |CP|=2 .,方法二：如图, 由圆的极坐标方程为=4cos 知|OC|=2, 又因为点P的极坐标为(4, ),所以|OP|=4, POC= ,在POC中,由余弦定理得 |CP|2=|OP|2+|OC|22|OP|OC|cos =16+4-242 =12,所以|CP|=2 . 答案：2,【加固训练】(2013湛江模拟)圆C的极坐标方程为= 2cos -2 sin (02)，则圆心的极坐标为 _. 【解析】将圆C的极坐标方程=2cos -2 sin (02)， 化为直角坐标方程为x2+y22x+2 y=0， 配方，得(x1)2+(y+ )2=4， 圆心的直角坐标为(1, )，,由于 且的终边过点(1, )，02， 所以= ，所以圆心的极坐标为（2, ）. 答案：（2, ）,
